Статистика процентных ставок.

Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка, которую обозначим z, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента:
(1 + nr)/Jp = 1 + ni (67) откуда находим r = [(1 + ni) Jp – 1]/n (11)
Начисление по сложным процентам
Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т. е. в неизменных рублях) составит С = Р(1 + i)n/Jp (12)
где индекс цен определяется выражением (11) или (12) в зависимости темпа инфляции. В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i = h, обеспечивающей равенство С = Р.
Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.
1. Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеувеличенная на величину инфляционной премии, является брутто-ставкой (r). Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения:
(1 + r)/(1 + h) = 1 +i, где I - реальная ставка (13).
Отсюда находим r=i + h + ih (14)
Таким образом, инфляционная премия составляет h + ih.
2. Индексация первоначальной суммы Р. В этом случае сумма Р корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса.
Тогда получаем: (15).
Пример 3. Предполагается, что темп инфляции составит 20 % в год. Какую ставку сложных процентов следует указать в договоре на открытие депозитного счета, чтобы реальная доходность составляла 10 %? Чему равна инфляционная премия?
Решение. Брутто-ставка вычисляется по формуле (14): r=i + h + ih 0,1+0,2+ 0,1-0,2 = 0,32, или 32%.
Инфляционная премия h + ih = 0,2 + 0,1*0,2 = 0,22, или 22 %.
Пример 4. Кредит в размере 500 000 р. выдан на 2 года. Реальная доходность операции должна составлять 20 % годовых но сложной ставке процентов. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15 % в год. Определить множитель наращения, учитывающий инфляцию и наращенную сумму.
Решение. Множитель наращения находим по формуле (1+0,15)2 (1+0,2)2 =1,9
Наращенная сумма – по формуле = 500 000*1,9 = 950 000 руб.
Определение реальной ставки процента
На практике приходится решать и обратную задачу — находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку г по заданной (или объявленной) брут-то-ставке r.
При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна
(16)
Учитывая, что получим (74)
При начислении сложных процентов реальная ставка определяется следующим выражением: (17)
Пример 5. На депозит со ставкой 12 % годовых помещены денежные средства сроком на 1 год. Инфляция составляет 10 % в год. Найти реальную ставку процентов для случая простых и сложных процентов.
Решение. При начислении простых процентов годовая реальная ставка
определяется по выражению (74): ==0,018 = 1,8%.
При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется выражением (75): = = 0,0198 =1,98%.
Учет налогов.
В ряде стран проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом, что уменьшает величину реально получаемой наращенной суммы. Расчет этой суммы можно представить следующим образом.
Обозначим наращенную сумму до уплаты налогов через S, а после уплаты – через С.Пусть ставка налога равна q. Тогда при начислении простых процентов получаем сумму налога Iq = (S-P)q, а наращенная сумма после уплаты налогов
С = S - (S-P)q = S(1-q) + Рq = P[1+n(1-q)i] (18)
Это выражение означает, что при начислении простых процентов учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: для получения реального наращения следует вместо ставки i применять ставку (1-q)i.
При начислении налога на сложные проценты возможны два варианта расчета: определение налога за весь срок сразу или расчет за каждый год в отдельности. Первый вариант удобен, если налоговая ставка в пределах облагаемого налогом периода остается неизменной. Второй остается единственно возможным, когда налоговая ставка из года в год меняется.
В первом варианте расчета сумма налога за весь срок равна
(S-P)q = P[(1+ i)n - 1]q, (19)
а наращенная сумма после выплаты налога рассчитывается по формуле С = S - (S-P)q = P[(1- q)(1+ i)n + q] (2.56)
Во втором варианте сумма налога рассчитывается за каждый истекший год. Обозначим сумму налога за год t через Gt. Ее можно определить следующим образом: Gt = Itg = (St – St-1)g = P[(1+i)t – (1+i)t-1]g, (20)
а наращенная сумма после выплаты налога рассчитывается по формуле
(23)



















Статистика процентных ставок по ипотечному кредитованию
Рассмотрим статистику средневзвешенных процентных ставок по ипотечным кредитам.











Процентные ставки по банковским кредитам зависят от ставки рефинансирования ЦБ.
Построим эконометрическую модель зависимости средневзвешенной ставки по ипотечному кредиту в рублях от ставки рефинансирования ЦБ и темпа инфляции, используя статистические данные ЦБ за 2009-2010годы
Период Ставка рефи-нансирования Период Ставка рефи-нансирования Период Ставка рефи-нансирования 19.06.07-3.02.08 10% 24.04.09-13.05.09 12,5% 30.10.09-24.11.09 9,5% 4.02.08- 28.04.08 10,25% 14.05.09-4.06.09 12% 25.11.09-27.12.09 9% 29.04.08-9.06.08 10,5% 5.06.09-12.07.09 11,5% 28.12.09-23.02.10 8,75% 10.06.08-13.07.08 10,75% 13.07.09-9.08.09 11% 24.02.10-28.03.10 8,5% 14.07.08-11.11.08 11% 10.08.09-14.09.09 10,75% 29.03.10-29.04.10 8,25% 12.11.08-30.11.08 12% 15.09.09-29.09.09 10,5% 30.04.10-31.05.10 8% 1.12.08-23.04.09 13% 30.09.09-29.10.09 10% 1.06.10-27.02.11 7,75%
Темп инфляции за 2008 год Темп инфляции за 2009 год Темп инфляции за 2010 год за месяц К соответств-му месяцу предыд. года за месяц К соответств-му месяцу предыд. года за месяц К соответств-му месяцу предыд. года январь 2,3% 12,6% 2,4% 13,4 1,6% 8% февраль 1,2% 12,7% 1,7% 13,9 0,9% 7,2% март 1,2% 13,3% 1,3% 14 0,6% 6,5% апрель 1,4% 14,3% 0,7% 13,2 0,3% 6% май 1,4% 15,1% 0,6% 12,3 0,5% 6% июнь 1% 15,1% 0,6% 11,9 0,4% 5,8% июль 0,5% 14,7% 0,6% 12 0,4% 5,5% август 0,4% 15% 0% 11,6 0,6% 6,1% сентябрь 0,8% 15% 0% 10,7 0,8% 7% октябрь 0,9% 14,2% 0% 9,7 0,5% 7,5% ноябрь 0,8% 13,8% 0,3% 9,1 0,8% 8,1% декабрь 0,7% 13,3% 0,4% 8,8 1,1% 8,8%
Период % ставка Период % ставка Период % ставка 01.02.09 14,2 01.10.09 14,4 01.06.10 13,4 01.03.09 14,5 01.11.09 14,2 01.07.10 13,3 01.04.09 14,6 01.12.09 13,9 01.08.10 13,2 01.05.09 14,9 01.01.10 13,7 01.09.10 13,3 01.06.09 14,6 01.02.10 13,9 01.10.10 13,2 01.07.09 14,8 01.03.10 13,6 01.11.10 12,8 01.08.09 14,8 01.04.10 13,4 01.12.10 12,6 01.09.09 14,4 01.05.10 13,4 01.01.11 12,5
Обзначим y - средневзвешенная процентная ставка по кредиту, %
x1 - ставка рефинансирования, % x2 - официальные цифры инфляции , %
Уравнение множественной регрессии ŷ = 10,765+ 0,276*х1 + 0,04*х2
Сделаем прогноз на январь 2012 года, приняв ставку рефинансирования 8,25% и темп инфляции 7%
ŷ = 10,765+ 0,276*х1 + 0,04*х2 = 10,765+0,276*8,25+0,04*7=13,32%

Используем модель временных рядов
=12,5 =204,17
=0,0797
=13,817 – 0,0797*12,5=12,881

Сделаем прогноз по средневзвешенной процентной ставке на
январь 2012 года - 15,83%
Список использованных источников
1. Брусов П.Н. Финансовая математика: учебное пособие/П.Н. Брусов, П.П. Брусов. Н.П. Орехова, С.В, Скородулина. – М,:КНОРУС, 2010. – 224с.
2. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов/ Б. Т. Кузнецов. – М.: Издательство «Экзамен», 2005. – 128с.
3. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления: Теория и практика. Учебно-справочное пособие. – М.ИНФРВ-М, 2007 – 408с.
4. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учебное пособие / под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010. – 360с.
5. Уткин М.Н. Финансовый менеджмент. М.: Квадрат 2003. – 349с