Дифференциальные уравнения

дифференциальные уравнения Обыкновенные

Задание 1. Для того, чтобы найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

.

Решение:

Реализуем разделения переменных:

(3y2 1)dy = 2xdx

Проинтегрируем левую и правую часть.

3 = 2.

3 y C = 2 ,

y3 y C = x2 или x = .

3yy' = x.

Написать уравнение в виде:

3y = x и произведем замену переменных:

3ydy = xdx, тогда 3 =

3 = C/2 или 3y2 = x2 C, то

y = .

Задание 2. Найти решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка

(2x - y)dx - (2y - x)dy = 0.

разрешим уравнение относительно dy/dx:

y' = = - ,

разделив числитель и знаменатель правой части на x, получаем:

y' = - ,

то есть y' является функцией отношения у/х. Это означает, что уравнение однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию u = y/x. То = ux, y' = xdu/dx u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x u = ;

х ^ % ^ u = = ,

= - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

ln = 2 - lnC.

ln = 2(u - ln(u 1)) - ln(u 1) = 2u - l-2ln(u 1) - ln(u 1) = 2у - 3 ln(u 1),

ln ln(u 1)3 = 2u,

ln (u 1)3 = 2u,

(u 1)3 = e2u , и, наконец, решение:

( 1)3 = exp (.

xdy - ydx = ydy.

(x - y)dy = ydx y = .

Для решения этого уравнения введем новую функцию u = y/x. То = ux, y' = xdu/dx u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными:

x u = =

х ^ % ^ u ; = ,

= - du = - . Проинтегрируем это уравнение:

ln = - lnC.

ln = ln(2u - 1) - u - ln(2u - 1) = - u, в конечном итоге получаем:

x = -u = -y/x.

Задание 3. Для того, чтобы найти решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

y-y ctg x = 2x sin x.

положим y = uv, тогда y' = u 'v-uv' и данное уравнение в виде:

u 'v-uv' - уф ctg x = 2x sin x,

u 'v u(v' - v ctg x) = 2x sin x.

Решая уравнение v' - v ctg x = 0, его принимать наиболее простое частное решение:

= v ctg x= = ctg x dx; ln = ln;, где v = sin x.

Подставляя v в исходное уравнение получим уравнение:

u sin х ; 2x sin x, из которого находим u

u' = 2x, следовательно, du = 2xdx u = x2 C.

Таким образом, искомое решение y = (x2-C) sin x.