несобственные элементы геометрии.

Тем не менее, между двумя этими теоремами существует принципиальная разница. При доказательстве теоремы Дезарга пользуются пространственной фигурой, которая может быть построена на основе только введенных пространственных аксиом связи без связи с другими аксиомам. Напротив, конфигурация Брианшона-Паскаля получалась при рассмотрении поверхности второго порядка. С одной стороны кажется, что центральным пунктом доказательства служит чистое рассмотрение инцидентности между точками, прямыми и плоскостями пространственного шестиугольника; однако более детальное исследование показывает, что построение подобных пространственных шестиугольников по существу равнозначно с построением линей начатой поверхности второго порядка и что возможность подобного построения не может быть доказана только на основании аксиом связи.
Можно получить кривые и линейчатые поверхности второго порядка и без метрических вспомогательных средств, если пользоваться только методом проекций. При таком методе можно отображать точки прямой на точки произвольной другой прямой таким образом, что гармоническая четверка точек всегда будет изображаться в виде гармонической же четверки и что три произвольно заданные точки одной прямой будут изображаться тремя произвольно заданными точками другой прямой. В таком случае говорят, что одна прямая проективно отображается на другую. Построение подобного отображения основывается исключительно на аксиомах связи на плоскости и в пространстве. Напротив, при помощи одних только этих аксиом нельзя заключить, что отображение, удовлетворяющее двум указанным требованиям — инвариантности гармонического расположения точек и произвольного выбора изображений трех точек, — однозначно определено для всех точек прямой. Для этой цели необходима еще аксиома непрерывности, которая сформулирвоана ниже. Но, помимо доказательства однозначности проективного отображения в указанном смысле, линейчатую поверхность второго порядка самого общего вида можно определить как поверхность, образуемую переменной прямой, соединяющей соответствующие точки двух прямых, приведенных в проективное соответствие и не лежащих в одной плоскости. Тогда из однозначности проективного отображения следует, что на такой поверхности должно лежать еще одно семейство прямых. Если проективно расположенные друг к другу прямые инцидентны, то прямая, соединяющая соответствующие точки, служит огибающей плоской кривой второго порядка. Все существенные для проективной геометрии свойства кривых второго порядка можно вывести из этого определения.
Для полного охвата понятия непрерывности необходимы две различные аксиомы; при доказательстве однозначности проективного отображения используется только одна из них - архимедова аксиома. В арифметическом выражении эта аксиома формулируется следующим образом: пусть даны два произвольных положительных числа а и А, из которых а может быть сколь угодно мало, а А сколь угодно велико; тогда можно число а складывать само с собой столько раз, что сумма после конечного числа сложений станет больше А:
а + а + а+ ... +а> А
Эта аксиома необходима, когда приходится измерять некоторое расстояние при помощи определенной длины (масштаба), и поэтому в такой форме она представляет важнейшую основу метрики. Независимое от метрических понятий выражение этой аксиомы следующее: пусть даны две параллельные прямые (рис. 4.1) и пусть на одной из этих прямых лежат две точки О и А. Проведем из точки О прямую, соединяющую ее с произвольной точкой В1 другой прямой, и точку B1 соединим снова прямой линией с некоторой точкой С1 первой прямой, лежащей между точками О и А. Затем проведем через точку С1 прямую, параллельную ОВ1, которая пересечет другую вторую в некоторой точке В2. Из этой точки опять проведем прямую, параллельную В1С1, которая пересечет первую прямую в точке С2. Если таким образом проводить и дальше параллели к прямым OB1 и B1C1, то архимедова аксиома утверждает, что в итоге после конечного числа шагов можно прийти к некоторой точке Сг, которая уже не будет расположена между точками О и А. В этой формулировке используется представление о том, что одна точка некоторой прямой лежит между двумя другими точками этой же прямой.
Высказывания подобного рода уточняются другой группой аксиом, так называемыми «аксиомами расположения» или «порядка». Рассмотрим изображение на рис. 4.1. Эта фигура получается из рис. 4.2 как его центральная проекция на другую плоскость.


Рисунок 4.1


Рисунок 4.2

Аксиомы связи на плоскости и в пространстве, аксиомы расположения и архимедова аксиома достаточны для доказательства однозначности проективного отображения. Из однозначности проективного отображения на плоскости можно вывести последние теоремы Паскаля и Брианшона (не используя при этом вспомогательных пространственных построений).
Теорема Дезарга может быть доказана в пространстве только при посредстве аксиом связи; для доказательства этой теоремы на плоскости, не выходя в пространство, невозможно обойтись без аксиом конгруэнтности, если даже принять архимедову аксиому и аксиомы расположения. Для доказательства здесь достаточно будет принять аксиомы связи и расположения на плоскости и аксиомы конгруэнтности. Если исключить пространственные аксиомы связи, то в отношении последней теоремы Паскаля можно сказать то же, что в отношении дезарговой теоремы. Для ее доказательства достаточны тогда плоские аксиомы связи, аксиомы расположения и конгруэнтности. Тем не менее, без пространственных вспомогательных построений можно установить существенную разницу между обеими теоремами также на плоскости.
Если принять на плоскости аксиомы связи и считать справедливой дезаргову теорему, то теорему Паскаля доказать нельзя. Напротив, теорему Дезарга можно доказать, если принять плоские аксиомы связи и теорему Паскаля. Проведем доказательства для частного случая, когда дезаргова прямая есть бесконечно удаленная прямая плоскости.
Таким образом, заранее принимаем следующее (рис. 4.3): Три прямые АА', ВВ', СС’ проходят все через одну и ту же точку О. Кроме того, АВ||А'В', АС||А'С. Теперь с помощью последней теоремы Паскаля следует доказать, что будет иметь место также ВС||В'С’.
Для доказательства проведем через точку А прямую, параллельную ОВ; пусть эта прямая пересекается с прямой А'С’ в точке L, а с прямой ОС — в точке M. Далее пусть прямая LB' пересекает прямую АВ в точке N.


Рисунок 4.3

Трижды применим к этой фигуре теорему Паскаля, притом в той частной ее форме, которая была названа теоремой Паппа. Прежде всего, шестиугольник ONALA'B' есть шестиугольник Паскаля, так как каждые три его вершины, взятые через одну, лежат на одной и той же прямой. По предположению NA||A'B'; по построению AL||B'O.
По теореме Паппа третья пара противоположных сторон этого шестиугольника параллельна, т. е. ON||A'L||AC. Теперь рассмотрим шестиугольник Паскаля ONMACB. В этом шестиугольнике ON||AC, как уже доказано, и МА||ВО по предположению. Поэтому по теореме Паппа NM||CB. В заключение рассмотрим шестиугольник Паскаля ONMLC’B'. В этом шестиугольнике ON||LC и ML||B'O. Отсюда следует, как и выше, что NM||C'B'. Но так как уже было доказано, что NM||CB, то отсюда и следует утверждение: ВС|| В'С’.
Все теоремы относительно точек пересечения на плоскости можно вывести из теорем Дезарга и Паскаля. Так как теперь мы получили теорему Дезарга в качестве следствия из теоремы Паскаля, можно утверждать, что теорема Паскаля является единственной существенной теоремой о точках пересечения на плоскости и, следовательно, конфигурация (93)1 является важнейшей фигурой в плоской геометрии.



























Заключение

В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» бесконечность придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Невозможно предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента — действительного числа — приводит к изучению процесса образования его последовательных приближенных значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама бесконечность натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как бесконечность лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной бесконечности противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным.
В работе был решен ряд задач, таких как:
дано понятие бесконечно удаленных (несобственных) элементов;
изложен принцип двойственности, произведено сравнение теорем Брианшона и Паскаля;
доказана теорема Дезарга и обратная ей;
дана сравнительная характеристика теоремам Дезарга и Паскаля;
сделаныь выводы о значении несобственных элементов для проективной геометрии.
Таким образом, в ходе данной работы были рассмотрены основные положения теории несобственных элементов проективной геометрии, изложены основные теоремы, а также их доказательства и применение.

Список использованных источников

Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. – М. Машиностроение, 2008. – 157 с.
Короткий В.А. Проективное построение коники [электронный ресурс www.lib.susu.ac.ru]: учеб. пособие / В.А. Короткий; Юж.-Урал. гос. ун-т. Челябинск, 2010. 98 с.
Победин, Л.Н. О бесконечном // Философия науки. – 2001. – № 1(9). – С.91–98; Он же. О бесконечном – 2 // Философия науки. – 2001. – № 2(10). – С.102–107.
Романычева Э.Т. и др. Инженерная и компьютерная графика. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 592 с.
Чекмарев, А.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 2007. – 364 с.
Чекмарев, А.И. Инженерная графика. Справочные материалы. – М.- Владос, 2009. – 412 с.

Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. – М. Машиностроение, 2008. – 157 с.
Чекмарев, А.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 2007. – 364 с.
Романычева Э.Т. и др. Инженерная и компьютерная графика. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 592 с.
Победин, Л.Н. О бесконечном // Философия науки. – 2001. – № 1(9). – С.91–98; Он же. О бесконечном – 2 // Философия науки. – 2001. – № 2(10). – С.102–107.
Чекмарев, А.И. Инженерная графика. Справочные материалы. – М.- Владос, 2009. – 412 с.















2