Вам нужна курсовая работа?
Интересует Высшая Математика?
Оставьте заявку
на Курсовую работу
Получите бесплатную
консультацию по
написанию
Сделайте заказ и
скачайте
результат на сайте
1
2
3

Круглые тела в школьном курсе геометрии.

  • 46 страниц
  • 25 источников
  • Добавлена 08.07.2012
1 100 руб. 2 200 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Оглавление

Введение
Шар
Задачи на тему «Сфера»
Задача №1
Задача №2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Цилиндр
Задачи по теме «Цилиндр»
Задача №1
Задача №2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Конус
Задачи на тему «Конус»
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задачи на комбинации круглых тел
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Заключение
Список литературы

Фрагмент для ознакомления

Прямые SK, Sa, Sb ... равны боковому ребру пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной Kab...L равна периметру основания пирамиды.При неограниченном уменьшении боковых граней вписанной пирамиды развертка ее увеличивается, приближаясь к предельному сектору SKM , у которого дуга KM равна окружности основания, а радиус SK - образующей конуса. Этот сектор называется разверткой боковой поверхности конуса.Подобно этому можно получить развертку боковой поверхности усеченного конуса (рис.19) в виде части кругового кольца KMNP.Лемма 2. Объем конуса есть общий предел объемов правильных вписанных и описанных пирамид при неограниченном удвоении числа их боковых граней.Впишем в конус и опишем около него по какой-нибудь правильной одноименной пирамиде. Употребляя те же обозначения, как и в предыдущем параграфе, будем иметь :V2=13B2HV1 =13B1HОткуда:V2 - V1=13H(V2 - V1)Из этого равенства видно, что разность V2 - V1 стремится к нулю, когда число боковых граней вписанной и описанной пирамиды неограниченно удваивается. А так как каждая из разностей: V2 - V и V - V1 меньше V2 - V1 , эти разности и подавно стремятся к нулю. А это значит, чтоV = пред. V1 = пред V2Теорема.Объем конуса равен произведению площади основания на треть высоты.Впишем в конус правильную пирамиду. Тогда, употребляя прежние обозначения, будем иметь:для пирамидыV1 = 1/3B1HЭти равенства остаются верными, сколько бы мы ни удваивали числа боковых граней пирамиды. Поэтому они останутся верными и тогда, когда вместо переменных подставим их пределы, следовательно:для конусаV = 1/3BHСледствие. Если радиусы основания цилиндра или конуса обозначим через R , то B = R2 . Поэтому:об. кон. V = 1/3R2HЗадачи на тему «Конус»Задача 1Объем конуса V. Высота его разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем средней части.Плоскости A1B1 и A2B2 отделили от конуса АСВ, конус A1CB1 и конус А2СВ2, подобные данному конусу. Их объемы (V, V1 и V2) относятся, как кубы высот:Объем Vcp средней части A1A2B2B1 равен V1— V2. Вычитая из первой пропорции вторую, найдем VcpЗадача 2Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, а сумма длин его высоты и образующей равна т. Найти объем и полную поверхность конуса.Из треугольника АОЕ находимИз треугольника OBD имеем H = Rctgβ,Задача 3На одном и том же основании построены два конуса (один внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса равен α, а угол между высотой и образующей большего конуса равен β . Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный между боковыми поверхностями этих конусов.По условию OC—OC1= h. ИмеемOC = R ctg βOC1= RctgαСледовательно,Искомый объем V равен разности объемов конусов АСВ и AC1B . Следовательно,Задача 4Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, представляет круговой сектор с углом α и хордой а. Определить объем конусаИз равнобедренного треугольника ADA1 находимЕсли α есть радианная мера угла ADA1, тоДо развертывания боковой поверхности отрезок AD был образующей конуса, так чтодуга АВСА1 была окружностью основания, так чтоВысота Н конуса равнагде α— радианная мера данного угла.Задача 5Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конусаУгол DOM равен углу φ= / DEO. Из /\ ODM и /\ ОЕМ находимЗадачи на комбинации круглых телЗадача 1Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине осевого сечения равен α. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг конуса.Так как радиус ОE окружности, вписанной в основание, равен R, то AB = 2R√3 . Из /\DOE находим DO = H = Rctgα/2.Отв. V =√3 R3ctgα/2 .Задача 2В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конус наклонена к основанию под углом α. Найти боковую поверхность усеченного конуса. На рис. изображено осевое сечение. ИмеемSбок. = πl (r1 + r2 ) = π • АD • (АМ + DN).Ho AM+DN=AF+DF=AD. Поэтому Sбок. = π • АD2 . Из трeугольника AED, где DE = MТ = 2r, находим AD = 2r/sin α Задача 3Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r. Имеем Sп. = Sбок. + π(r12 + r22) . Из треугольника АОМ находимAM = r1 = OM • ctg α/2 = r ctg α/2 .Из треугольника DON, где , имеемDN = r2 = rctg (90°— α/2) = rtgα/2Вычисления упростятся, если выражение r12 + r22 преобразовать, так: r12 + r22 = (r1 + r2)2 — 2r1r2. Так как r1 + r2 = l и Sбок. = πl2(см. предыдущую задачу) и из прямоугольного треугольника AOD имеем AF • FD = OF2 или r1r2 = r2, тоSп. = πl2 + πl2 — 2πr2 = 2π (l2 — r2).Сюда подставим Задача 4В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найти объем конуса.См. предыдущую задачу. ИмеемСюда подставляем Задача 5В шар вписан конус, объем которого равен 1/4 объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна Н.При обозначениях на рисунке объем шара равен 4/3πR3, а объем конуса AСВ равен 1/3πr2 • СО1 = 1/3πr2H. По условию1/3πr2H = 1/4 •4/3πR3т. е. r2H = R3. Еще одну зависимость между r и R мы получим из прямоугольного треугольника CAD; именно, АО12 =CO1 • DO1 т. е. r2 = H (2R — Н). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим R3 — 2H2R + H3= 0. Хотя это уравнение третьей степени относительно неизвестного R, но одно его решение R = H сразу усматривается (его можно было угадать и непосредственно по условию, так как конус, у которого радиус основания и высота равны радиусу шара, составляет по объему 1/4 шара). Следовательно (по теореме Безу), левую часть можно разложить на множители, один из которых равен R — H. Для этого достаточно разделить R3 — 2H2R + H3 на R — H или применить такое преобразование: R3 — 2H2R + H3 = (R3 — H2R) — (H2R — H3) = R (R— Н) (R + H) — H2(R — H) = =(R — H) (R2+ RH — H2)=0.Уравнение R2+ RH — H2 = 0 имеет один положительный корень(отрицательный корень не годится). Геометрически это означает, что радиус шара равен большей части высоты конуса, разделенной в крайнем и среднем отношении.Отв. Задача имеет два решения: V = 4/3πH3 и V = 4/3π (√5 — 2) H3.ЗаключениеИзучая свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности.В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств.В результате работы рассмотрены круглые тела в геометрии: шар, цилиндр и конус. Даны ихз определения, получены формулы прощади поверхности и объема, приведены примеры решения задач.Список литературыАзевич А. И. 20 уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: «Школа-Пресс», 2005. (серия «Готовимся к ЕГЭ.).Азевич А. И. Задачи по геометрии. 10-11классы. Дидактические материалы и контрольные работы. - М.: «Школьная пресса», 2005.Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. - Висагинас, Аlfa, 1998. - 576с. (Библиотека школьника)Алексеев А.С., И.Г. Вяльцева, Г.Д. Глейзер, В.И. Каетченко. Дидактические материалы по математике для 12 класса вечерней (сменной) общеобразовательной школы. – М.: Просвещение, 1990.Амелькин В. В., Т. И. Рабцевич, В. Л. Тимохович Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: Учеб. пособие по математике Мн.: ООО «Асар», 2003. — 592 е.:Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.—192 сГеометрия 10-11 Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. М.: Просвещение.2003. Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями. (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз).: Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В. - М: Изд-во Фойлис, 2010Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения.—М.:МЦНМО, 2006.—160 сГусев В. А., В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1992.— 352 сЕременко С. В., Сохет А. М, Ушаков В. Г. Элементы геометрии в задачах. - М.. МЦНМО, 2003. - 168 с.Игровые уроки математики 5-11 классы(пособие для учителей математики) Е.В.Ерохина. Издательство: «Грамотей», 2004.Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия. - М., МФТИ, 1996. - 256 с.Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В. С. Крамор. — 4-е изд. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 336 сМатематика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Бабрин и др. М.:Дрофа.2000. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии.— К.: «Магистр-S», 1996. — 256 с.Поурочная разработка по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2010Прасолов В. В. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2010. — 352 с.Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— (Б-ка мат. кружка).—288 сСмирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия/ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора.- УНЦ ДО МГУ,1998. - 152 сФискович Т. Т.Геометрия для старшеклассников и абитуриентов. - Добросвет, 2000. - 192 сЧерняк А.А., Ж.А. Черняк. Геометрия 7-11 классы. – М.: Дрофа, 2011 (ЕГЭ: Шаг за шагом).Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 280 сЯщенко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2009.

Список литературы

1)Азевич А. И. 20 уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: «Школа-Пресс», 2005. (серия «Готовимся к ЕГЭ.).
2)Азевич А. И. Задачи по геометрии. 10-11классы. Дидактические материалы и контрольные работы. - М.: «Школьная пресса», 2005.
3)Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. - Висагинас, Аlfa, 1998. - 576с. (Библиотека школьника)
4)Алексеев А.С., И.Г. Вяльцева, Г.Д. Глейзер, В.И. Каетченко. Дидактические материалы по математике для 12 класса вечерней (сменной) общеобразовательной школы. – М.: Просвещение, 1990.
5)Амелькин В. В., Т. И. Рабцевич, В. Л. Тимохович Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: Учеб. пособие по математике Мн.: ООО «Асар», 2003. — 592 е.:
6)Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.—192 с
7)Геометрия 10-11 Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. М.: Просвещение.2003.
8)Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями. (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз).: Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В. - М: Изд-во Фойлис, 2010
9)Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения.—М.:МЦНМО, 2006.—160 с
10)Гусев В. А., В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1992.— 352 с
11)Еременко С. В., Сохет А. М, Ушаков В. Г. Элементы геометрии в задачах. - М.. МЦНМО, 2003. - 168 с.
12)Игровые уроки математики 5-11 классы(пособие для учителей математики) Е.В.Ерохина. Издательство: «Грамотей», 2004.
13)Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия. - М., МФТИ, 1996. - 256 с.
14)Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В. С. Крамор. — 4-е изд. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 336 с
15)Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Бабрин и др. М.:Дрофа.2000.
16)Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии.— К.: «Магистр-S», 1996. — 256 с.
17)Поурочная разработка по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2010
18)Прасолов В. В. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2010. — 352 с.
19)Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— (Б-ка мат. кружка).—288 с
20)Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия/ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
21)Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора.- УНЦ ДО МГУ,1998. - 152 с
22)Фискович Т. Т.Геометрия для старшеклассников и абитуриентов. - Добросвет, 2000. - 192 с
23)Черняк А.А., Ж.А. Черняк. Геометрия 7-11 классы. – М.: Дрофа, 2011 (ЕГЭ: Шаг за шагом).
24)Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 280 с
25)Ященко И.В., Шестаков С.А., Захаров П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2009.

Шестьдесят один

Федеральное агентство по образованию

Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

департамент Математики

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускной квалификационной работы

Методика изучения многогранников в школе в курсе стереометрии

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Коноплева, Елена,

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И. В. Ситникова

Рецензент:

кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ З. В. Шилова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

"___" __________2005 чтобы Sab. кафедрой М. В. Крутихина

"___"___________2005 , Декан факультета В. И. Варанкина

Киров 2005

Содержание

Введение 3

1. Подходы к определению многогранника и его видов 6

1.1. Подходы к определению многогранника 6

1.2. Подходы к определению выпуклого многогранника 13

1.3. Подходы к определению правильного многогранника 16

2.Изучение темы "Многогранники" в школе в курсе стереометрии 19

2.1. Изучение темы в учебнике Атанасяна Л. с. 21

2.2. Изучение темы в учебнике Смирновой И. М. 26

2.3. Изучение темы в учебнике Александрова А. Д. 28

3. Виды и роль визуальных средств при изучении многогранников 30

4. Опорные задачи при изучении темы "Многогранники" 34

4.1. Задачи по теме "Призма" 35

4.2. Задачи на тему "Пирамида" 43

Вывод 51

Литература 52

Приложение 1. Опытное преподавание 55

Приложение 2. Различные доказательства теоремы Эйлера 58

Введение

Тема "Многогранники" одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат,- все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования более объектов - главным образом тел и поверхностей.

Узнать стоимость работы