Вам нужен реферат?
Интересует Высшая Математика?
Оставьте заявку
на Реферат
Получите бесплатную
консультацию по
написанию
Сделайте заказ и
скачайте
результат на сайте
1
2
3

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

  • 21 страница
  • 6 источников
  • Добавлена 26.04.2012
770 руб. 1 100 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Оглавление
Введение
Преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Применение преобразования Фурье
Практическая часть
Список литературы

Фрагмент для ознакомления

На рисунке проиллюстрирован второй этап вычисления ДПФ. Линиями сверху вниз показано использование элементов для вычисления значений новых элментов. Очень удобно то, что два элемента на определенных позициях в массиве дают два элемента на тех же местах. Только принадлежать они будут уже другим, более длинным массивам, размещенным на месте прежних, более коротких. Это позволяет обойтись одним массивом данных для исходных данных, результата и хранения промежуточных результатов для всех T итераций.
рис. 4

Применение преобразования Фурье

Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t).
Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: x = Asin(t).
Период колебания равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент. Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T). Частота колебания обратна периоду: ν = 1/T. Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: ω= 2πν = 2πT. Откуда: x = A sin(ωt).
И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:
Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус:
Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2, чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:
x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ)     (18)
В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее. Преобразуем (18) по формуле косинуса суммы:
x = A cos φ cos(2πt/T) - A sin φ sin(2πt/T)     (19)
Выделим в (19) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im:
x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (20)
Re = A cos φ, Im = A sin φ
По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:
   и       (21) Рассмотрим очень распространенную практическую ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 равных частей, границы частей обозначим tn = nT/N. Сохраняются N значений функции на границах частей: xn = f(tn) = { x0, x1, x2,..., xN }.      В результате прямого дискретного преобразования Фурье были получены N значений для Xk:
Теперь возьмем обратное преобразование Фурье:

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное Xk на мнимую и действительную составляющие Xk = Rek + i Imk; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:
(24)
Это была цепочка равенств, которая начиналась с действительного числа xn. В конце получилось две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма должна быть равна нулю. Отбросим ее и получим:
     (25)
Поскольку при дискретизации мы брали tn = nT/N то можем выполнить замену: n = tnN/T. Следовательно, в синусе и косинусе вместо 2πkn/N можно написать 2πktn/T. В результате получим:
      (26)
Сопоставим эту формулу с формулой (20) для гармоники:
x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (20)
Слагаемые суммы (26) аналогичны формуле (20), а формула (20) описывает гармоническое колебание. Значит сумма (26) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды. Выше объяснялось, каким образом формула вида (20) может быть преобразована в формулу вида (18):
x = A cos(2πt/T + φ)    (18)
Выполним такое же преобразование для слагаемых суммы (26), преобразуем их из вида (20) в вид (18). Получим:
(27)
Далее будем функцию
Gk(t) = Ak cos(2πtk/T + φk)     (28)
называть k-й гармоникой.
Для вычисления Ak и φk надо использовать формулу (21). Теперь выпишем в одном месте все формулы, которые связывают амплитуду, фазу, частоту и период каждой из гармоник с коэффициентами Xk:
(29)
Итак. Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник – обратным.

Практическая часть
Рассмотрим реализацию быстрого преобразования Фурье на примере 8 точек:
x 1+i 1 1+2i -1+2i i -2+i -2+2i 1-2i Разделим множество на четные и не четные:
x_even_1 x_odd_1 1+i 1 1+2i -1+2i i -2+i -2+2i 1-2i Затем снова, каждое из множеств разобьем на четное и не четное:
x_even_2 x_odd_2 x_even_3 x_odd_3 1+i 1+2i 1 -1+2i i -2+2i -2+i 1-2i Теперь можно вычислить преобразованные коэффициенты.
Воспользуемся формулой:

Где номер индекса.
X_even_3 X_odd_3 X_even_2 X_odd_2 -1+i 0 1+2i -1+4i 3-i -2+4i 1 3 Для дальнейших расчетов необходимо знать значения функции
Продолжая вычисления, получим:
X_even_1 X_odd_1 6i -1+4i 2,00000000000001+2,99999999999999i -0,99999999999999+4i 2-2i -1+4i -2,00000000000001-0,99999999999999i -3,00000000000001 Эти значения рассчитываем по формуле:




Результат будет иметь вид:
X -1+10i 4,12132034355966+6,53553390593272i 6-1,00000000000001i 0,12132034355963+1,12132034355967i 1+2i -0,12132034355964-0,53553390593274i -2-2,99999999999999i -4,12132034355965-3,12132034355965i

Для реализации комплексной арифметики в среде MS Excel использовались следующие средства:
=КОМПЛЕКС(a;b) – задание комплексного числа a+bi.
=МНИМ.ПРОИЗВЕД(a;b)- произведение двух комплексных чисел.
=МНИМ.РАЗН(a;b) – вычисление разности двух комплексных чисел a-b
=МНИМ.СУММ(a;b) – вычисление суммы комплексных чисел a+b
=МНИМ.EXP(a) – возведение экспоненты в комплексную степень a.

Список литературы
А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие. САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, 2005.
Э. Ч. Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье:— Санкт-Петербург, КомКнига, 2007 г.- 480 с.
А. Е. Полищук: Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование Фурье: — Москва, МЦНМО, 2010 г.- 312 с.
Г. Нуссбаумер. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. Перевод с английского Ю. Ф. Касимова и И. П. Пчелинцева под редакцией чл.-кор. АН КазССР В. М. Амербаева и Т. Э. Кренкеля/ МОСКВА:РАДИО И СВЯЗЬ - 1985
И. Снеддон. Преобразование Фурье. Издательство: ИНОСТРАННОЙ ИТЕРАТУРЫ – 1955
Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях Наука: 1989










21

Список литературы
1.А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Учебно-методическое пособие. САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, 2005.
2.Э. Ч. Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье:— Санкт-Петербург, КомКнига, 2007 г.- 480 с.
3.А. Е. Полищук: Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование Фурье: — Москва, МЦНМО, 2010 г.- 312 с.
4.Г. Нуссбаумер. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. Перевод с английского Ю. Ф. Касимова и И. П. Пчелинцева под редакцией чл.-кор. АН КазССР В. М. Амербаева и Т. Э. Кренкеля/ МОСКВА:РАДИО И СВЯЗЬ - 1985
5.И. Снеддон. Преобразование Фурье. Издательство: ИНОСТРАННОЙ ИТЕРАТУРЫ – 1955
6.Залманзон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях Наука: 1989

Опубликовано

Вделают

сигнал параллельного алгоритма процессора

Одним из многих факторов, компьютерной революции оказалось появление совершенно новых областей исследования. С каждым годом, по мере того, как увеличивается скорость, уменьшить стоимость и габариты ИС увеличиваются возможности решения проблем все возрастающей сложности. К ним относится цифровая обработка сигналов многомерной, что требует больших объемов цифровой памяти и, соответственно, числа арифметических операций. Несмотря на сложность, цифровая обработка сигналов уже позволила найти решение ряда важных задач, начиная с компьютерной томографии (методы, которая позволяет проекции рентгеновских изображений, полученных при различных ориентациях детекторы выполнения трехмерная реконструкция органов человеческого тела), и заканчивая проектированием полей акустические пассивные датчики и исследования ресурсов Земли с помощью спутников. Цифровая обработка сигналов многомерных также имеет прочное математическое обоснование, которое позволяет не только понять, уже понял, но и эффективно исследовать новые проблемы по мере их возникновения и решать их успешно.

грубо говоря, сигнал -- это инструмент для передачи информации, а целью обработки сигналов является извлечение этой информации. Таким образом, узлы переменных во времени электрических потенциалов, плотность зерен серебра фотографических эмульсий или массив чисел в памяти КОМПЬЮТЕРА представляют собой примеры сигналов. Как правило, обработка сигналов включает в себя перенос информации с одного сигнала на другой. Независимо от своей физической сущности сигналы представляют интерес только благодаря содержащейся в них информации. Можно сказать, что обработка сигналов включает в себя две основные задачи -- преобразование способа представления информации в сигнал и сокращение ее объема.

Цифровой обработки сигналов, что касается обработки сигнала, который можно представить как последовательность чисел, а цифровая обработка сигналов, многомерные -- обработка сигналов, представленных в виде многомерных массивов чисел, например, матрицы, полученной после дискретизации изображений, или результаты дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, полученных одновременно от нескольких датчиков.

1. Постановка целей

1.1 Современный подробности проблемы

Узнать стоимость работы