Формула Стирленга

Пример 3Приближено вычислить , если велико. Решение.Оценим выражение ,где 1, , тогда .,где , тогда . Значит, .Ответ: .Пример 4Вывести асимптотическую формулу для произведения.Решение. Преобразуем это произведениеИспользуяформулуСтирлинга, получим:(2n – 1)!! =.Оценим выражение , где , , или , тогда или . Обозначив через выражение , получим окончательный ответ.Ответ: , где . Пример 5Найти приближенно Решение. Представим число в виде , тогда, используя выведенную выше формулу, придем к следующему: Представим в виде: .Далее получим.Как известно, при , таким образом, справедливо следующее приближенное равенство: .Ответ: .Пример 6 Приближено вычислить . Решение.Используем формулу Стирлинга и формулу:.Оценим выражение : ,или ,тогда . , где .Таким образом, получим, что Ответ: , где .Пример 7Приближено вычислить . Решение. Найдем данный интеграл для любого натурального четного :,интегрируя по частям: , тогда ,.. То есть , откуда выразим : ;.С помощью данной рекуррентной формулы легко получить окончательный результат для любого натурального . Пусть , тогда: ,,то есть .Пусть, n = 200, тогда, k = 100 получим .Используя выведенную выше формулу, получим .Оценим выражение : ,,тогда . Таким образом, ,где .Ответ: , где .Пример 8Приближено вычислить . РешениеНайдем значение данного интеграла для любого четного натурального : . Полагая, , а , получим: . В силу того, что , получаем, считая , , следующее: .Интегрируем по частям, обозначив , , .Значит, .То есть получим, что , откуда выразим : или .С помощью данной рекуррентной формулы легко получить окончательный результат для любого натурального . Так как , то .В результате придем к следующему ответу: При, получим: .Оценим выражение : , или .Значит, где . Здесь была использована формула при .Ответ: , .ЗаключениеТаким образом, формула Стирлинга играет большую роль в разных областях математики, особенно, в комбинаторике, так как позволяет получить асимптотическую оценку факториала. Относительная ошибка при вычислении меньше и, таким образом, стремится к нулю при неограниченном возрастании БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОКЕрусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложение Изд. 2-е / Я.М. Ерусалимский. – М.: Вузовская книга, 2009.Куликов Л.Я. Сборник задач на алгебре и теории чисел. Изд. 2-е / Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. – М.: Просвещение, 2011.Нефедов В.Н. Курс дискретной математики Изд. 2-е / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова. – М.: Изд-во МАИ, 2011. Пономарев В.Ф. Математические методы и модели в обработке информации и управлении. Методические разработки по разделу «Формальные системы» / В.Ф. Пономарев. – Калининград: КГТУ, 2010.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗыИзд. 15-е / под ред. Сканави М.И. – М.: Высшая школа, 2010. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику Изд. 4-е / С.В. Яблонский. – М.: Наука, 2010.