Псевдообратные матрицы

  • 40 страниц
  • 11 источников
  • Добавлена 25.12.2013
800 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Equation Chapter 1 Section 1Содержание
Введение 3
1 Понятие псевдорешения системы линейных уравнений и псевдообратной матрицы 6
1.1 Минимизация невязки 6
1.2 Псевдообратная матрица 10
1.3 Вычисление псевдообратной матрицы 15
1.3.1 Общие данные 15
1.3.2 Прямое получение скелетного разложения матрицы 16
1.3.2 Вторая форма сингулярного разложения 17
1.3.3 Метод Гревиля 21
2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы 25
Список источников 33
Фрагмент для ознакомления

Таким образом, размеры матриц в вычисленном разложении (19) зависят от величины . Это вычисленное разложение является точным разложением другой матрицы . Ранг зависит от , причемаспектральное число обусловленностиудовлетворяет неравенствугде– наибольшее сингулярное число матрицы А.Мы видим, что матрица , вообще говоря, лучше обусловлена, чем А, но часть информации, содержащейся в А, может оказаться потерянной. Если мы признали нулевым некоторое сингулярное число, истинное значение которого положительно, мы фактически признали некоторую строку А линейно зависимой от остальных.Итак, сделав больше минимального сингулярного числаА, мы выберем из А наиболее достоверную информацию, которой, естественно, меньше. Одновременно, увеличение способствует более компактной записи и, следовательно, экономии памяти. [12]Можно использовать этот эффект для выделения наиболее существенной части данных, записанных в матрице. Для этого задают настолько большим, чтобы получить матрицу приемлемого ранга, именно, достаточно малого, чтобы данные были обозримы, и достаточно большого, чтобы они представляли интерес.1.3.3 Метод ГревиляСовсем другой подход к нахождению псевдообратной матрицы основывается на следующем построении.Пусть матрица Ах получается из матрицы А дописыванием справа столбца а:Допустим сначала, что и рассмотрим столбецгде обозначает евклидову норму.Если то матрица получается из матрицы дописыванием снизу строки , т. е. имеет видОбозначив матрицу (22) через X, найдемОбозначим для краткости знаменатель выражения (21) через. ТогдаОтсюда видно, что матрица А1Х симметрична.Рассмотрим теперь произведение А1ХА1. ИмеемВычислим матрицу А1ХА. Она равнапоскольку Е-АА+ симметрична, так же как и АА+.Первое слагаемое равно А. Раскроем скобки во втором слагаемом:и увидим, что оно равно нулю согласно тому же тождеству АА+А=А. Вычислим теперь столбец А1Х. Он равенЧтобы упростить это выражение, найдем Произведя сокращение в выражении (23), имеемИтак, как и требовалось.Рассмотрим теперь случай, когда Положими докажем следующее утверждение [13].Если то матрица получается из матрицы дописыванием снизу строки , т. е. равнаДоказательство проведем как и для предыдущего предложения. Обозначим матрицу (26) через X и вычислим А1Х:в силу условия Таким образом, матрица А1Х симметрична. Аналогично, независимо от вида имеемВычислим матрицу ХА1. Она имеет вид (24), только вместо в нее входитПреобразуем выражения для клеток этой матрицы:гдеНо в силу тождества (8). ПоэтомуОтсюда следует, что левая верхняя клетка симметрична. Далее, в силу того же тождестваКроме тогоЭто показывает, что клетка-строка получается транспонированием из клетки-столбца.Теперь видно, что матрица ХА1 симметрична. Рассмотрим произведение ХА1Х. Если Zi, i= 1, 2, 3, 4, обозначают клетки матрицы ХА1,тоПодставляя вместо Ziих выражения через A, и находимРаскроем скобки и учтем, что иТогда преобразуемое выражение превратится вДалее,Таким образом, мы проверили, что ХA1Х = X, и закончили доказательство.Доказанные положения можно использовать для построения псевдообратной для данной матрицы А. Для этого рассматривают п матриц А1, …, Ап, где матрица Аt (t=1,…,п) состоит из tпервых столбцов матрицы А.Так как А1 состоит из одного столбца, находится без затруднения. Затем последовательно вычисляются пока не будет полученаОсобенно этот способ удобен, если с течением времени данные пополняются, и расчеты, ранее проведенные с матрицей At, нужно повторить с матрицей At+1, полученной из Atдобавлением столбца. Если добавляются строки, то тот же метод применяется к транспонированной матрице.Следует отметить, что затруднения, связанные с необходимостью одновременно с псевдообращением определять ранг матрицы, остаются и при применении рассматриваемого метода.Они появляются в тот момент, когда мы должны выяснить, выполнено ли равенство ,и в зависимости от этого выбрать нужную формулу.2 Основные свойства и применение псевдообратной матрицы2.1 Свойства и применение псевдообратной матрицыОтметим следующие свойства псевдообратной матрицы [1]:1 ;2 ;3 ,  ;4 , .Первое свойство означает, что операции перехода к сопряженной и к псевдообратной матрице перестановочны между собой. Равенство 2° выражает собой взаимность понятия псевдообратной матрицы, тан как согласно 2° псевдообратной матрицей для  является исходная матрица .Согласно равенствам 3° и 4° матрицы  и  являются эрмитовыми и инволютивными (квадрат каждой из этих матриц равен самой матрице).Для вывода равенства 1° воспользуемся скелетным разложением (36): . Тогда равенство  дает скелетное разложение матрицы . Поэтому, заменяя в формуле (45) матрицу  на , а матрицу  на , получим:.Равенства , ,  являются скелетными разложениями. Следовательно,.Используя свойство 1°, а также выражения для  и , найдем:.Справедливость равенств 3° и 4° проверяется непосредственно путем подстановки в эти равенства вместо  соответствующего выражения из формулы (45).Заметим, что в общем случае, когда разложение  не является скелетным, не всегда имеет место равенство . Так, например.Здесь, ,.Поэтому.Наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов). Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений                                     (46)или в матричной записи.                                                           (46')Здесь  - заданные числа, а  – искомые.В общем случае система (46) может быть и несовместной.Столбец                                                (47)называется наилучшим приближенным решением системы (46), если при значениях   «квадратичное отклонение»                                    (48)достигает своего наименьшего значения и среди всех столбцов , для которых это отклонение имеет минимальное значение, столбец  имеет наименьшую «длину», т. е. для этого столбца величина                                            (49)имеет наименьшее значение.Покажем, что система (46) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение и это приближенное решение определяется по формуле,                                                    (50)где  — псевдообратная матрица для матрицы .Для этого рассмотрим произвольный столбец  и положим,где,  .                         (51)Тогда.      (52)Но.                (53)Исходя из разложения (36) и формулы (45), найдем:.Поэтому из равенства (53) следует,                                                                               (54)но тогда и.                                                              (54')Поэтому из равенства (52) находим,                  (55)и, следовательно, для любого столбца .                                                   (56)Пусть теперь;тогда, согласно равенству (55),                                                                      (57)где.С другой стороны,.                 (58)Вспоминая, что , получим в силу (57):.             (59)Но тогда и.Поэтому из равенства (58) находим,и, следовательно,                                               (60)причем знак = имеет место только при , т.е. при , где .Пример. Найти наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) системы линейных уравнений:,,.Здесь.Но тогда,и поэтому.Следовательно,, , , .Определим норму   - матрицы  как неотрицательное число, задаваемое формулой.                                        (61)При этом очевидно, что.                            (61')Рассмотрим матричное уравнение,                                                       (62)где  и  – заданные  и -матрицы, а  - искомая -матрица.Определим наилучшее приближенное решение  уравнения (62) из условия,причем в случае, когда,требуется, чтобы.Из соотношений,                            (63)                                           (64)следует, что -й столбец искомой матрицы  должен быть наилучшим приближенным решением системы линейных уравненийПоэтомуПоскольку это равенство справедливо при любом  то.                                              (65)Таким образом, уравнение (62) всегда имеет одно и только одно наилучшее приближенное решение, определяемое формулой (65).В частном случае, когда  — единичная матрица -го порядка, имеем . Следовательно, псевдообратная матрица  является наилучшим приближенным решением (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения.Это свойство псевдообратной матрицы  может быть принято в качестве ее определения.2.2 Решение задания из задачника ИкрамоваРешим задание №7.8.13. Найти нормальноепсевдорешение системы линейных уравнений:Решение.Имеем:Ответ: Список источниковГантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. – 576 с.Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М.: Наука, 1983Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.П – центр, 2003Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970.Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977.Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.Булавецкий В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. – М.: Наука, 1977.Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.Воеводин В. В. Линейная алгебра, – М.: Наука, 1980.Воеводин В. В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966.


СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1968. – 576 с.
2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры М.: Наука, 1983
3. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.П – центр, 2003
4. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.
5. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970.
6. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.
7. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969.
9. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
10. Булавецкий В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы линейного программирования. – М.: Наука, 1977.
11. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.
12. Воеводин В. В. Линейная алгебра, – М.: Наука, 1980.
13. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. – М.: Наука, 1966.

Опубликовано

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОД наименьших

КВАДРАТЫ

Содержание

1. Цель работы

2. Методические указания

2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов

2.2 Постановка задачи

2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции

2.4 Общие метод решения

2.5 Методика решения нормальных уравнений

2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений

2.7 Метод расчета обратной матрицы

3. Ручной счет

3.1 Источник данных

3.2 Система нормальных уравнений

3.3 решение систем методом обратной матрицы

4. Схема алгоритмов

5. Текст программы

6. Результаты машинного расчета

Вывод

1. Цель работы

Настоящая диссертация окончательное название дисциплины "Вычислительная математика и программирование" и требует от студента в процессе ее выполнения решения следующих задач:

а) практического освоения модели вычислительных методов прикладной информатики; б) совершенствования навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня.

Практическая реализация диссертационной работы предполагает решение типовых инженерных задач обработки данных с использованием методов матричной алгебры, решения систем линейных алгебраических уравнений численного интегрирования. Навыки, приобретенные в процессе выполнения диссертационной работы, являются основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин, выполнению курсовых и лицензии проектов.

2. Методические указания

2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов

2.2 Постановка задачи

при изучении зависимостей между величинами важной задачей является приблизительное представление (аппроксимация ) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой деятельности, и конкретный метод ее решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.

2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции

Аппроксимирующую функцию выбирают что-то из семейства функций, для которого задан вид функции, но по-прежнему остаются неопределенными (и подлежат определению), ее параметры, то есть

Узнать стоимость работы