Оптимальная смешанная стратегии в матричной игре

В нашем случае, обе стратегии активны, иначе игра будет иметь решение в чистых стратегиях. Следовательно, если мы предположим, что игрок будет использовать чистые стратегии B1, то средний выигрыш v составит:k11p1 + k21p2 = v    ( 1 )где:  kij - элементы платежной матрицы.С другой стороны, если мы предположим, что игрок будет использовать чистые стратегии B2, средний выигрыш составит:k12p1 + k22p2 = v    ( 2 )Приравняв левые части уравнений (1) и (2) получим:k11p1 + k21p2 = k12p1 + k22p2А с учетом того, что p1 + p2 = 1 имеем:k11p1 + k21(1 - p1) = k12p1 + k22(1 - p1)Откуда несложно найти оптимальную частоту стратегии A1:p1 = k22 - k21k11 + k22 - k12 - k21    ( 3 )В данной задаче:p1 = 32 - 63 + 32 - 5 - 6 = 913Вероятность р2 найдем вычитанием р1 из единицы:p2 = 1 - p1 = 1 - 913 = 413Шаг:5Вычислим цену игры подставив р1, р2 в уравнение (1) :v = k11p1 + k21p2  = 3 · 913 + 6 · 413 = 5113Шаг:6Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока "B":SB* =B1B2q1q2где:  q1 , q2 - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии B1 и B2Из теории игр известно, что если игрок "Б" использует оптимальную стратегию, и игрок "А" остается в рамках активной политики, в средах на победу остается неизменной и равна цене игры v, независимо от того, как игрок "И" использует свои активные стратегии. Следовательно, если мы предположим, что у игрока "А" будут пользоваться чистой стратегииA1, то средний выигрыш v составит:k11q1 + k12q2 = v    ( 4 )Поскольку цена, игры v нам уже известна и учитывая, что q1 + q2 = 1, то оптимальная частота стратегии B1 может быть найдена как:q1 = v - k12k11 - k12    ( 5 )В данной задаче:q1 = 5113 - 53 - 5 = 713Вероятность q2 найдем вычитанием q1 из единицы:q2 = 1 - q1 = 1 - 713 = 613Ответ:Нижняя цена игры :  α = 3Верхняя цена игры :  β = 5Цена игры :  v = 5113Оптимальная стратегия игрока "А" :SA* =A1A2913413Оптимальная стратегия игрока "B" :SB* =B1B2713613Геометрическая интерпретация (графическое решение):Мы даем геометрическую интерпретацию рассматриваемой игры. Взять участок оси x на единицу длины и провести через конец вертикальные a1 и a2 соответствующие нашей стратегииA1 и A2. Предположим теперь, что у игрок "Б" будет использовать стратегиюB1 в чистом виде. Затем, если мы (игрок "А") будет использовать чистые стратегииA1, тонашвыигрышсоставит 3.Отметимсоответствующуюемуточкунаоси a1.Если же мы будем использовать чистую стратегию A2, то наш выигрыш составит 6. Отметим соответствующую ему точку на оси a2(см. Рис. 1). Очевидно, если мы будем применять, смешивая в различных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 3) и (1 , 6), назовем ее линией стратегии B1 (на Рис.1 показана красным цветом). Абсцисса любой точки на данной прямой равна вероятности p2 (частоте), с которой мы применяем стратегию A2, а ордината - получаемому при этом выигрышу k (см. Рис.1).Рисунок 1.График зависимости выигрыша k от частоты р2, при использовании противником стратегии B1.Предположим, что у игрока "Б" будет стратегия B2 в чистом виде. Затем, если мы (игрок "А") будет использовать net стратегии A1, то наш выигрыш будет 5.если мы будем использовать net стратегии A2, то наш выигрыш будет 3/2 (см. рис. 2). Аналогично, если мы будем смешивать в разных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой, проходящей через точку (0 , 5) и (1 , 3/2), называют это онлайн-стратегия B2. Как и в предыдущем случае, по оси абсцисс любой точки на этой линии равна вероятность, с которой мы реализуем стратегию A2 ординат одержал победу, но только для стратегия B2 (см. рис. 2).Рисунок 2.Графическое определение цены игры v и оптимальной частоты q2 для игрока "В".Только для него следует построить так называемую верхнюю границу проигрыша (красная ломаная линия) и искать на ней самую низкую точку, т.к. для игрока "В" цель, это минимизация проигрыша. Аналогично значение частоты q1, это длина отрезка [q2 ; 1] на оси абсцисс.ЗаключениеОсуществлена попытка рассмотрения задачи оптимальная смешанная стратегии в матричной игре. В результате чего можно сделать следующие выводы:Игра-это математическая модель реальной конфликтной ситуации. В ситуации конфликта двух игроков, вызванных steam-игры. Парная игра с нулевой суммой и исследовать, если он описан в виде матрицы. Эта игра называется матрица.Матрица, состоящая из чисел aij называется оплаты.Математическая модель игра с нулевой суммой - это матричная игра матрицы A, которая движется (стратегии) игрок находится в строках, а ходы (стратегии) игрок Б находится на столбцах. В матрицу, записанную выигрыши игрока, когда соответствующие выдержки игроки A и B.Таким образом, можно описать алгоритм решения:На основе анализа платежной матрицы определили, является ли это несущественные стратегии, и исключили их.Нашли в верхнюю и нижнюю цену игры, и определили, является ли эта игра седловой точкой (нижняя цена игры равна верхней цены игры).Если седловая точка существует, оптимальные стратегии игроков, которые являются решение, действие игры будет чистой стратегии, соответствующие седловой точки. Цена игры равна верхней и нижней цены игры, которые равны.Если игра не имеет седловой точке, решение следует искать в смешанных стратегиях. Для определения оптимальных смешанных стратегий в играх m (x / n) использовать симплекс-метод, переформулировав перед игрой задачи в задаче линейного программирования.Список литературыБорисова С.П., Власова И.А., Коваленко  А.Г. Теория игр и исследование  операций - Издательство «Самарский  университет», 2010.Берж Л. Общая теория игр  нескольких лиц - М.: ГИФМЛ, 2011. 327.стр.Гамецкий А.Ф., Слободенюк В.А., Спиридонова  Г.В. Теория игр, исследование  операций - Издательство КГУ, 2009.Краснов М.Л., Киселёв А.И. Высшая  математика, том 5 - М.: Издательство  ЛКИ, 2010. 300 стр. Конюховский П.В. Математические  методы исследования операций  в экономике - СПб.: Издательство  СПбГУ. 394 стр.Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании  и экономике - М., 2010. 400 стр. Петросян Л.А. Теория игр - М.: Издательство «Высшая школа», 2008.Протасов И.Д. Теория игр и  исследование операций - М.: Издательство  «Гелиос» АРВ, 2010. 368 страниц.Секацкий В.В., Худякова Г.И. Элементы теории матричных игр в курсе математики.// Ярославский педагогический вестник. 2012, №1(23).Таха Х. Введение в исследование  операций - М.: издательство «Вильямс», 2011.