Тема:Приближённые методы решения нелинейных уравнений (метод половинного деления, метод итераций).

  • 30 страниц
  • 21 источник
  • Добавлена 19.12.2013
800 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Содержание
Введение 3
Теоретические аспекты применения приближённых методов решения нелинейных уравнений 5
Постановка задачи решения нелинейного уравнения 5
Этапы решения уравнения приближёнными числовыми методами 6
Метод половинного деления 9
Метод итераций 11
Примеры практического применения приближённых методов решения нелинейных уравнений 13
Отделение корней 13
Решение уравнение методом половинного деления 14
Решение уравнения методом итераций 18
Заключение 21
Список источников 22


Фрагмент для ознакомления

Продемонстрируем это, решив уравнение , выбрав в качестве x0другое число, например, 0,2.Шаг 0.Пусть Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 1.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 2.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 3.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 4.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 5.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 6.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 7.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 8.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 9.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 10.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 11.Условие сходимости выполняется.Поэтому переходим к следующему шагу.Шаг 12.Условие сходимости выполняется.Решение найдено. С точностью до третьего знака решение уравнения 0,5674. Найденное значение отличается от рассчитанного корня методом итераций при первом выборе значения x, равном 1, однако погрешность находится в пределах заданной точности.Итак, решение уравнения найдено методом половинного деления и методом итераций при выборе различных первоначальных значений. Все три раза корень получен равным 0,567.ЗаключениеВ ходе выполнения курсовой работы было изучено применение таких методов приближённого решения нелинейных уравнений, как метод половинного деления и метод итераций. Оба метода решения уравнений дают близкие результаты, отличающиеся друг от друга в пределах заданной погрешности.Актуальность использования данных методов в практической деятельности заключается в расширении применения методов математического моделирования в экономике и росте потребности в расчётах сложных математических выражений, не всегда поддающихся аналитическому вычислению при относительно невысоких требованиях к соблюдению точности вычисления результатов.Преимуществом применения численных методов также является возможность регулирования точности получаемого решения при увеличении временных затрат и затрат вычислительных мощностей.С учётом развития вычислительных информационных технологий можно ожидать расширения применения рассмотренных в работе методов в экономике.Особенность метода половинного деления заключается в постепенном последовательном приближении к искомому решению. При использовании метода ключевым фактором к его эффективному применению является правильное определение интервала поиска решения.Во-первых, заданный интервал должен содержать решение, иначе на первой итерации поиска не будет возможности определения направления сужения интервала поиска.Во-вторых, скорость, с которой будет найден корень уравнения, напрямую зависит от ширины интервала и заданной точности вычисления. И, если требуемая точность вычисления определяется внешними факторами, то выбор интервала поиска решения зависит от исследователя.Метод итераций подходит для решения только определённого класса нелинейных уравнений, представимых в виде:Особенность метода итераций заключается в отсутствии необходимости определения интервала поиска решения – достаточно задать первоначальное решение, достаточно близкое к искомому.В отличие от метода половинного деления метод итераций, уточняя на каждом шаге интервал поиска, в общем случае приводит к более медленному отысканию корней уравнения.Требуемые для применения обоих методов начальные условия (интервал или первоначальное значение) на практике часто определяются исходя из графического решения уравнения.Список источниковЛитератураБабаева Н.С. Приближенные методы решения уравнений // Информатика и образование. 2003. № 6.Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.Волгин В.Ф. Сборник упражнений по курсу «Численные методы». – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2000. Громов Ю.Ю., Татаренко С.И. Введение в методы численного анализа. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2001Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб.: Лань, 2010. – 400 с.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Изд-во МАИ, 2000.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 368 с.Корнилов В.С. Как ЭВМ вычисляет квадратный корень. / «В мир информатики» № 36 («Информатика» № 10 / 2004).Кугаенко А.А. Методы динамического моделирования в управлении экономикой: Учебное пособие с компакт-диском / Под ред. П.Е. Кондрашова. – 2-е изд., испр. и доп. - М.: Университетская книга, 2005.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 352 сПирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для бакалавров. – М.: Юрайт, 2012. – 201 с.Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит, 2008. – 285 с.Самарский А.А. Введение в численные методы. – СПб.: Лань, 2009. – 288 с.Семёнова Т.И, Шакин В.Н.: Практикум Математический пакет MathCAD в дисциплине «Информатика», Москва, МТУСИ, 2006г.Срочко В.А. Численные методы. Курс лекций. – СПб.: Лань, 2010. – 208 с.Тимофеева Л.А. Численные методы решения задач на ЭВМ // Информатика и образование. 2003. № 12.Интернет-источникиВведение в математическое моделирование // НОУ Интуит [Электронный ресурс]) Режим доступа http://www.intuit.ru/studies/courses/2260/156/info свободный (дата обращения 15.11.2013Основы численных методов. [Электронный ресурс]Режим доступа http://www.exponenta.ru/educat/systemat/levitsky/index свободный (дата обращения: 15.11.2013)


Список источников
Литература
1. Бабаева Н.С. Приближенные методы решения уравнений // Информатика и образование. 2003. № 6.
2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
4. Волгин В.Ф. Сборник упражнений по курсу «Численные методы». – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2000.
5. Громов Ю.Ю., Татаренко С.И. Введение в методы численного анализа. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2001
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – СПб.: Лань, 2010. – 400 с.
7. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
8. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Изд-во МАИ, 2000.
9. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 368 с.
10. Корнилов В.С. Как ЭВМ вычисляет квадратный корень. / «В мир информатики» № 36 («Информатика» № 10 / 2004).
11. Кугаенко А.А. Методы динамического моделирования в управлении экономикой: Учебное пособие с компакт-диском / Под ред. П.Е. Кондрашова. – 2-е изд., испр. и доп. - М.: Университетская книга, 2005.
12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989.
13. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2009. – 352 с
14. Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для бакалавров. – М.: Юрайт, 2012. – 201 с.
15. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит, 2008. – 285 с.
16. Самарский А.А. Введение в численные методы. – СПб.: Лань, 2009. – 288 с.
17. Семёнова Т.И, Шакин В.Н.: Практикум Математический пакет MathCAD в дисциплине «Информатика», Москва, МТУСИ, 2006г.
18. Срочко В.А. Численные методы. Курс лекций. – СПб.: Лань, 2010. – 208 с.
19. Тимофеева Л.А. Численные методы решения задач на ЭВМ // Информатика и образование. 2003. № 12.

Интернет-источники
20. Введение в математическое моделирование // НОУ Интуит [Электронный ресурс]) Режим доступа http://www.intuit.ru/studies/courses/2260/156/info свободный (дата обращения 15.11.2013
21. Основы численных методов. [Электронный ресурс]Режим доступа http://www.exponenta.ru/educat/systemat/levitsky/index свободный (дата обращения: 15.11.2013)

Кафедра: АСОИиУ

lab

На тему: НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫЕ. МЕТОДЫ решения СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Москва, 2008 год

ПОИСК КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

1. Постановка задачи

Пусть задана функция, непрерывная вместе с несколькими производными. Требуется найти все или некоторые корни уравнения являются реальными

. (1)

Эта задача распадается на несколько подзадач. В первую очередь, необходимо определить число корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить с требуемой точностью . Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитических или графических методов. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции . Если два соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.

Найти приближенные значения корней можно получить через различные итерационные методы. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона.

2. Способы решения этой проблемы

2.1 Метод деления отрезка пополам

Самый простой способ, который позволяет найти корень нелинейного уравнения (1), является метод, половины деления.

Пусть на сегменте [a, b] имеет значение непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то есть, то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть, для определенности корень один. Суть метода заключается в сокращении на каждой итерации в два раза длиннее отрезка. Находим середину отрезка [a,b] (см. рис. 1) вычислим значения функции и выбрать тот период, в котором функция меняет знак. Новый отрезок снова делим пополам. И этот процесс продолжается, до тех пор, пока длина отрезка равна заранее заданной ошибка вычисления корня . Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) представлен на рисунке 1.

Узнать стоимость работы