Комбинаторные методы в теории групп

Пусть G — свободная группа с базисом S. Группа G действует свободно и без инверсий ребер на дереве Г(С, S). Если НG, то Н тоже действует свободно и без инверсий ребер на том же дереве. По теореме 2.2 группа Н свободна.
Следствие (Формула Шрайера). Если G — свободная группа конечного ранга и Н — ее подгруппа конечного индекса п, то
rk(H)-1 = n(rk(G)-1).
Доказательство. Пусть S — некоторый базис группы G, Н\G — множество правых смежных классов группы G по подгруппе Н. Группа Н действует на вершинах и положительно ориентированных ребрах дерева Г(G,S) по следующим правилам: g hg, (g,s)(hg,s). Здесь hН, gG, sS. Поэтому фактор-граф Y=Н\Г(G,S) задается формулами Y°=H\G, Y+1 = (H\G) х S, причем ребро (Hg, s) соединяет вершины Hg и Hgs. По теореме 2.2 имеем rk(H)=n-rk(G)—n+l.
Определение 2.7. Пусть G — свободная группа с базисом S и Н — ее подгруппа. Система представителей Т правых смежных классов G по Н называется шрайеровой, если из того, что tТ имеет приведенную форму s1,s2,.. sn (siSUS-1) следует, что s1,s2,.. siT для каждого 0in. Такую систему будем называть коротко шрайеровой трансверсалью для Н в G.
В частности, 1Т. Для gG обозначим через g такой элемент из Т, что Нg = Н.
Теорема 2.6. 1) Для любой подгруппы Н свободной группы G с базисом S существует шрайерова трансверсаль в G. Более точно, пусть ∆—произвольное максимальное поддерево в фактор-графе Y=Н\Г(G,S). Тогда множество
Т(∆) = {s(pv)|vY0}
является шрайеровой трансверсалью для Н в G.
2) Соответствие ∆ Т(∆) задает биекцию из множества максимальных поддеревьев в Y в множество шрайеровых трансверсалей для Н в G.
3) Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G. Тогда Н имеет базис
{ts(ts)-1|tT, sS и ts(ts)-1 ≠1}.
Доказательство. 1) Так как v пробегает множество правых смежных классов группы G по подгруппе Н и v=Hs(pv), то Т(∆) — система представителей этих классов. Осталось заметить, что для пути pv = e1e2 .. • en в дереве ∆ его метка s(pv) = s(e1)s(e2)…s(en) является приведенным словом и любое начальное подслово этого слова является меткой соответствующего начального подпути пути pv.
Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G. Пусть t = s1 …Sk — произвольный элемент из Т, записанный в приведенной форме. Сопоставим ему путь lt = е1...ек в Y такой, что a(e1) = Н, s(ei) = si. Пусть ∆(Т) — подграф в Y, образованный всеми ребрами, входящими в пути lt(tТ), обратными к ним ребрами, а также их началами и концами. Легко понять, что ∆(Т) — максимальное поддерево в Y, и что соответствия и задают взаимно обратные отображения.
В самом деле, пусть ∆ — максимальное поддерево в Y, соответствующее системе Т. Для любого пути ре = pa(e)epω(e)-1 имеем s(pe) = tst-1, где t=s(pa(e)), s = s(e), ti = s(pw(e)).
По первому утверждению t,t1 T, имеем tst1-1H, т. е. t1=. Осталось заметить, что (еY1+s(e)S) и (е∆1s(pe) = 1).
§ 2.6. Деревья и свободные произведения с объединением
Теорема 2.7. Пусть G = G1* G2- Тогда существует дерево X, на котором G действует без инверсий ребер так, что G\X — сегмент. При этом в X существует сегмент Т, являющийся поднятием сегмента G\X, стабилизаторы двух вершин и ребра которого в группе G равны G\G2 и А соответственно.
Доказательство. Положим Х° = G/G1UG/G2, X+1= G/A (здесь все смежные классы левые). Положим a(gA) = gG1, ω{gА)=gG2, и пусть Т — сегмент с вершинами G1,G2 и положительно ориентированным ребром А. Определим действие группы G на X левым умножением. Докажем, что граф X связен. Без ограничения общности достаточно доказать, что его вершина вида gG1 связана путем с вершиной G1. Запишем элемент g в виде g1g2 …gn, где giG1 или giG2 в зависимости от четности i. Тогда вершины g1...g-1G1 и g1.. .giG1 при giG1 совпадают, а при giG2 соединены ребрами с вершиной gi...gi-1G2 (= g1.. .giG2). Теперь связность легко следует индукцией по n.
Докажем отсутствие циклов в графе X. Предположим, что в X существует замкнутый путь без возвращений е1...еn. Сдвигая его на элемент из G, можно считать без ограничения общности, что а(е1)=G1. Так как соседние вершины являются смежными классами по разным подгруппам, то n четно, и существуют такие элементы xiG1 — А, yiG2-А, что а(е2) =x1G2, а{е3) =x1y1G1, .. .,а(еп) = х1у1…xn/2G2, ω(en) = x1y1…xn/2yn/2G1- Так как ω(en) = а(еi) = Gi, то мы получаем противоречие с единственностью нормальной формы элемента в группе Gi * G2.
§ 2.7. HNN-расширения
Пусть G — группа, А и В — ее изоморфные подгруппы и φ:АВ- фиксированный изоморфизм. Пусть (t) — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом t, не входящим в G. Группа G*, равная фактор-группе группы G*(t) по нормальному замыканию множества {t-1at(φ(a))-1|аА], называется HNN-расширением группы G относительно А, В и φ. Группа G называется базой HNN-pac ширения G*, t — проходной буквой, А и В — ассоциированными подгруппами. Для обозначения группы G* используют записи {G,t|t-1at = φ(a)(aА)) и G*A , указывая в последнем случае изоморфизм φ.
Определение 2.8. Нормальной формой называется последовательность (g0,tε1,g1,..., tεn ,gп) в которой gо — произвольный элемент из G,
если εi = -1, то gi ТA,
если εi = 1, то gi Тв,
нет последовательных вхождений tε,1, t-ε.
Определение 2.9. Петлей называется граф, состоящий из одной вершины и двух противоположных ребер, имеющих начало и конец в этой вершине:
Теорема 2.8. Пусть G = (H, t|t-1at = φ(a) (аА)) - HNN-pacширение группы Н с ассоциированными подгруппами А и φ(А). Тогда существует дерево X, на котором G действует без инверсий ребер так, что G\X—петля. При этом в X существует сегмент Y, отображающийся на эту петлю, стабилизаторы двух вершин и ребра которого в группе G равны Н, tHt-1 и А соответственно.
Теорема 2.9. Пусть группа G действует без инверсий ребер на дереве X и фактор-граф Y=G\X—петля. Пусть Y — любой сегмент в X, отображающийся на эту петлю, Gp, Gq и Ge — стабилизаторы вершин Р, Q и ребра е этого сегмента. Пусть хG — произвольный элемент такой, что Q = хР. Положим G'e = х-1Сех и пусть φ:GeG'e — изоморфизм, индуцированный сопряжением элементом х. Тогда G'eGp и гомоморфизм {GP,t|t-1at= φ(a) (a Ge)) G,тождественный на Gp и переводящий t в х, является изоморфизмом.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели основные понятия комбинаторной теории групп. Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Долгое время исследования групп велись в терминах групп подстановок. В частности, изучался вопрос о кратно транзитивных группах подстановок. В последние 15 лет на небосклоне комбинаторной теории групп наблюдаются вспышки новых идей и теорий, источником которых является геометрия и топология.
Список литературы.
Богопольский О.В. Введение в теорию групп. Москва-Ижевск 2002г
Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп Изд-во «Мир» М-1980.








2