Математический анализ
Заказать уникальную курсовую работу- 1616 страниц
- 1 + 1 источник
- Добавлена 17.01.2015
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Найдем вторую производную
.
Подставив в уравнение, получаем
.
После упрощений получим
.
Приравняем коэффициенты при 1, , и
;
;
;
.
Получаем
a1 = 2, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1.
Таким образом, частное решение нашего уравнения имеет вид
.
Находим общее решение нашего уравнения в виде суммы решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
.
Для облицовки бассейна объемом 1000 куб.м. требуется закупить кафельную плитку размером 10х10 см. Найти размеры (длину, высоту и ширину) бассейна, чтобы количество плитки было наименьшим. Определить количество плиток.
Указание: ввести три переменные величины длины, ширины и высоты бассейна; исключая одну из переменных, составить функцию от двух переменных и исследовать ее на экстремум.
Введем три переменные. Пусть x – длина бассейна, y – его ширина, z – высота. Тогда объем бассейна
.
Отсюда выразим z
.
Запишем сумму площади дна и стенок бассейна
.
Подставив в нее выражение для z через x и y, получим
.
Минимальное количество плитки понадобится, если суммарная площадь стенок и дна бассейна будет минимальна. Таким образом, нам требуется найти минимум функции . Найдем экстремумы этой функции.
Найдем частные производные и приравняем их нулю:
;
.
Решим полученную систему уравнений.
Выразим x через y из первого уравнения и подставим во второе:
;
;
;
.
Поскольку уравнения частных производных симметричны относительно x и y, то если мы выразим y через x из первого уравнения и подставим во второе, то получим следующие значения:
;
.
Таким образом, имеем 2 точки экстремумов. Но их число можно сократить до одной, замечая, что отрицательные значения x или y (длины или ширины) не имеют смысла. Поэтому рассмотрим точку (12,5992; 12,5992). Найдем частные производные второго порядка:
;
;
.
Поскольку все вторые производные в данной точке больше нуля, это минимум функции, который и требовалось найти. Найдем соответствующую высоту бассейна:
.
Поделив площадь стенок и дна бассейна на площадь одной плитки, найдем количество плиток, которые потребуются:
плиток.
Ответ: длина и ширина примерно по 12,6 м, глубина около 6,3 м. Понадобится 600 тыс. плиток.
16
Вопрос-ответ:
Как найти вторую производную?
Чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную функции, а затем найти производную этой производной. Это позволяет найти изменение скорости изменения функции и определить её выпуклость или вогнутость.
Как найти общее решение уравнения?
Для нахождения общего решения уравнения необходимо найти решение его однородной части, а затем добавить к нему частное решение неоднородной части. При этом, однородное уравнение имеет вид, когда правая часть равна нулю, а неоднородное уравнение имеет ненулевую правую часть.
Что значит "частное решение" и "общее решение" уравнения?
Частное решение уравнения - это одно из возможных решений этого уравнения, учитывающее конкретные значения коэффициентов и правой части. Общее решение - это множество всех возможных решений уравнения, которое может быть получено путем добавления к частному решению любого решения однородного уравнения.
Сколько кафельной плитки нужно для облицовки бассейна объемом 1000 куб м, если размер плитки составляет 10 см?
Для рассчета количества кафельной плитки необходимо знать площадь поверхности бассейна. Предположим, что бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь его поверхности составит 2*(длина*ширина + длина*высота + ширина*высота). Зная объем бассейна и его площадь, можно рассчитать, сколько плитки нужно, разделив площадь на площадь одной плитки.
Как найти вторую производную?
Для того чтобы найти вторую производную, нужно взять производную от первой производной функции.
Какие коэффициенты получаются при упрощении уравнения?
При упрощении уравнения получаются коэффициенты a1=2, a2=0, a3=1, a4=1.
Как выглядит частное решение уравнения?
Частное решение уравнения имеет вид ax^3 + bx + c, где a, b и c - некоторые константы.
Как найти общее решение уравнения?
Общее решение уравнения найдется путем сложения решения однородного уравнения с частным решением неоднородного уравнения.