Теория поля

Координаты центра масс поверхности:. (52)3. Теория поляЕсли в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор (53)называется градиентом величины Uв соответствующей точке.Пусть дано векторное поле . Интеграл (54)называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L. Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом: (55)Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность SGи поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхностиS. Поверхностный интеграл 1-го рода (56)где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторногополя А(М) через выбранную сторону поверхности S.Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется. (57) Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):A = gradu = . (58) При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой областиdivA = 0. (59)4 Практические заданияЗадание 1. Вычислите криволинейный интеграл 2-ого рода по заданной кривой L.РешениеОтвет: 4Задание 2. Вычислите криволинейный интеграл 2-ого рода по треугольному контуру непосредственно и с помощью формулы Грина. РешениеПостроим контур (рис.7).Рис. 7. Контур Вычислим интеграл непосредственно. Построим уравнение прямой AC: - уравнение прямой AC.AB: BC: AB: Теперь воспользуемся формулой Грина для расчета интеграла.Ответ: Задание 3. Дано векторное поле Найдите:А) дивергенцию в заданной точке A;Б) градиент от дивергенции в заданной точке A;В) ротор в заданной точке A;Г) работу векторного поля вдоль заданного отрезка РешениеА) Б)В)Г) Найдем каноническое и параметрическое уравнение прямой AB. ; Ответ: ; ; ;Задание 5. Вычислите поверхностный интеграл 2-ого рода по внешней стороне треугольника, который отсекается на заданной плоскости координатными плоскостями.РешениеПостроим плоскость (рис.8).Рис.8.Плоскость Ответ: 85Задание 7. Применяя формулу Остроградского, вычислите поток векторного поля через поверхность пирамиды, образованную координатными плоскостями и заданной плоскостью, в направлении внешней нормали к ее поверхности.РешениеПостроим плоскость (рис.3).Рис.9. Плоскость Найдем уравнение прямой AB:Ответ: СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫФихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 1981.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.