Адаптивная модель Брауна

Целью такого «обучения» модели является выбор наилучшего параметра на основе пробных прогнозов на ретроспективном статистическом материале.
Адаптивные модели обладают высокой гибкостью, но при этом достаточно низкой универсальностью, поскольку приспосабливаются к конкретному ряду. Поэтому при построении и обосновании моделей необходимо учитывать наиболее вероятные закономерности развития исследуемого процесса и соотносить динамические свойства ряда с их структурой и возможностями.
К числу наиболее популярных адаптивных прогностических моделей можно отнести модели Хольта, Брауна, Бокса-Дженкинса и др.

Адаптивная модель Брауна

Модель Брауна [1] относится к адаптивным моделям прогнозирования, то есть соотносится с четвертым подклассом моделей временных рядов. Модель Брауна способна изменять свою структуру и параметры, может приспосабливаться к изменению условий, как и другие модели адаптивного прогноза.
Модель Брауна описывает процессы с линейной и параболической тенденцией (трендом), а также случайные процессы без тенденции.
Построение линейной модели Брауна имеет следующие этапы:
1. По первым пяти точкам временного ряда с помощью метода наименьших квадратов оцениваются значения параметров линейной модели для нулевого момента времени:
yth(t) = a0 + a1t.
2. С использованием параметров a0 и a1 , найденных на предыдущем этапе, строят прогноз на шаг вперед ((= 1):
y1 = a0(0) + a1(0)(= a0(0) + a1(0) .
3. Находят величину отклонения (погрешности) фактического значения экономического показателя от его расчетного значения (в данном случае t = 1):
(= y(t) – yth(t)
4. Далее параметры модели корректируются по следующим формулам:
a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 –(2) ((t)
a1(t) = a1(t-1) + (1 –(2) ((t)
где (= 1 – (, ( – параметр сглаживания.
5. С помощью скорректированных на предыдущем шаге параметров можно найти прогноз на следующий момент времени (( = 1):
yth(() = a0(t) + a1(t).
Точечный прогноз на будущее будет рассчитываться по следующей формуле:
yth(n + () = a0(n) + a1(n)(,
при этом (= 1, 2, …,
а n – число наблюдений в модели.
Построение модели Брауна в электронных таблицах Excel осуществляется по начальным данным с использованием статистических функций.
Возьмем следующий набор данных:
t Yt 0 1 30,7 2 32 3 30,3 4 31,7 5 33,8 6 36,4 7 41 8 43,6 9 50,6 10 61,2 11 64,1 12 59,9 13 58,4 14 62,3 15 65,7 16 70,5
Для рассматриваемой выборки можно построить диаграмму, отражающую динамику исходных данных:

Рисунок 2. Динамика исходных данных
Для оценки значения параметра a0 используется функция ОТРЕЗОК, а для расчета праметра a1 ( функция НАКЛОН.
Вычисление параметра a0 дает значение 23,06, параметр a1 дает значение 2,965.
Для нахождения основных параметров модели проведем следующий алгоритм:
Зададим значение параметра ( равным 0,32 и вычислим значение параметра (=1(0,32=0,68.
Вычислим модельное значение показателя yth = a0(0) + a1(0), что дает значение расчетного параметра 26,025
Вычислим значение остатка (, как разность между фактическим и модельным значениями, что в данном случае дает остаток 4,675
Остальные строки таблицы получаем раскопированием первой строки.
Так, а0(t)=a0(t(1)+a1(t(1)et(1((2)
a1(t)=a1(t(1)+et(1(()2

Применение данной модели позволяет получить следующий ряд модельных показателей:
t Yt a0(t) a1(t) Yрасч(t)=Yth et 0 23,06 2,965 1 30,7 30,51188 3,44372 26,025 4,675 2 32 27,39469 3,243467 33,9555952 -1,9556 3 30,3 26,80505 3,20884 30,63815479 -0,33815 4 31,7 28,53012 3,381498 30,01389133 1,686109 5 33,8 31,96299 3,574868 31,91162124 1,888379 6 36,4 33,61989 3,66315 35,53786189 0,862138 7 41 40,93973 4,043767 37,2830439 3,716956 8 43,6 37,9321 3,902097 44,98349785 -1,3835 9 50,6 56,32071 4,799714 41,83420156 8,765798 10 61,2 56,52604 4,807863 61,12042309 0,079577 11 64,1 63,67559 5,091111 61,33390617 2,766094 12 59,9 39,4076 4,183161 68,76669669 -8,8667 13 58,4 72,71161 5,699627 43,59076403 14,80924 14 62,3 23,34485 4,049836 78,41123936 -16,1112 15 65,7 106,7429 7,9723 27,39468574 38,30531 16 70,5 270,9159 3,444667 114,7151701 -44,2152
Можно продемонстрировать на диаграмме, как соотносятся друг с другом исходные данные и расчетные показатели:


Рисунок 3. Взаимосвязь исходных и расчетных показателей модели


После построения модельных значений для всех исходных точек можно сделать прогноз на будущее. Например, чтобы вычислить первое прогнозное значение для данных необходимо взять a0 и a1 последнего шага и рассчитать прогнозируемый показатель на шаге (=1, потом на шаге (=2 и т.д.
Yth(n+1)=a0(n)+a1(n)((
После получения прогнозируемых значений проводится проверка точности. Для оценки точности модели необходимо вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Считается, что точность модели:
Хорошая, если среднее значение относительной погрешности не превышает 5%;
Удовлетворительная, если среднее значение относительной погрешности не превышает 15%;
Неудовлетворительная, если среднее значение относительной погрешности больше 15%.
Для каждого отдельного значения y относительная ошибка аппроксимации вычисляется по формуле (((/y. Средняя относительная ошибка аппроксимации рассчитывается как среднее всех относительных ошибок. В данном случае относительная ошибка (ABS(et)/yt)(100 будет:
15,23 6,11 1,12 5,32 5,59 2,37 9,07 3,17 17,32 0,13 4,32 14,80 25,36 25,86 58,30 62,72 Чтобы вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации, рассчитывают среднее из этого столбика данных. Для исследуемого случая получим значение 16,05%, что соответствует неудовлетворительному качеству модели, так как точность ее низкая.
Необходимо также оценить среднеквадратическую ошибку модели, которая рассчитывается следующим образом:
,
где m=1.
Квадратическое отклонение при этом будет равно:
.
В соответствии с рассчитанным отклонением можно вычислить точечный прогноз U1 при (=1 и U2 при (=2.

Литература
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавров / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И.В. Орлова. – М.:Юрайт,
2012. – 328 с.
2. Донцов Д. Excel. Легкий старт. СПб.: Питер, 2007. 144 с. (Серия «Легкий старт»).
3. Борзых Д., Демешев Б. Эконометрика в задачах и упражнениях. М., 2015, 218 с.
4. Кремер Н., Путко Б., Тришин И. Математика для экономистов. От Арифметики до Эконометрики. Учебно-справочное пособие. М.: Юрайт, 2014, 724 с.