линейная алгебра и математический анализ

Содержание
Математический анализ 3
1 Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума 3
2 Числовая последовательность и ее предел 4
3 Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса 5
4 Верхний и нижний пределы, их свойства 7
5 Критерий Коши для последовательностей 9
6 Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ 10
7 Критерий Коши для пределов функций 13
8 Непрерывность функции. Определения, их эквивалентность 14
9 Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции 15
10 Односторонняя непрерывность. Непрерывность на отрезке. 1-я теорема Вейерштрасса 16
11 Вторая теорема Вейерштрасса 18
12 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора 19
13 Производная функции 20
14 Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости и существования производной 20
15 Касательная к графику, ее существование 21
16 Дифференциал функции. Геометрический и физический смысл производной 22
17 Производная суммы, произведения, частного 23
18 Производная обратной функции 23
19 Производная сложной функции 24
20 Таблица производных. Производные от элементарных функций 25
21 Локальные экстремумы и теорема Ферма 25
22 Теорема Лагранжа и теорема Коши 26
23 Теорема Лопиталя 30
24 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 31
25 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 33
26 Условия возрастания и убывания функции 34
27 Достаточные условия экстремума 35
28 Выпуклость кривой (графика функции), достаточные условия выпуклости. Точки перегиба 37
29 Асимптоты 39
30 Полное исследование функции и построение графика 41
31 Первообразная и ее свойства 43
32 Неопределенный интеграл. Следствия из определения 45
33 Таблица интегралов 46
34 Разбиения. Определенный интеграл Римана 46
35 Теорема о производной интеграла по верхнему пределу 50
36 Формула Ньютона-Лейбница 51
37 Замена переменных в определенном интеграле 51
38 Формула интегрирования по частям (в определенном интеграле) 52
39 Кривые. Гладкая кривая. Формула длины гладкой кривой 54
40 Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 56
41 Первообразная и ее свойства 57
42 Неопределенный интеграл. Следствия из определения 58
43 Таблица интегралов 58
44 Метод интегрирования по частям, замена переменной в неопределенном интеграле 58
45 Разбиения. Определенный интеграл 59
46 Необходимое условие интегрируемости 59
47 Суммы Дарбу, их свойства 60
48 Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница 61
49 Замена переменных в определенном интеграле 61
50 Формула интегрирования по частям 61
51 Предел функции. Эквивалентность различных определений 61
52 Критерий Коши существования предела 61
53 Теоремы о пределах для числовых функций 61
54 Теоремы Вейерштрасса 63
55 Теорема Кантора 63
56 Дифференцируемость функции. Частные производные. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости 64
57 Отображения из Rn в Rm . Координатные функции. Непрерывность и дифференцируемость. Матрица Якоби 66
58 Дифференциалы функции в точке 68
59 Частные производные сложной функции 68
60 Производная по направлению. Градиент и его свойства 69
Линейная алгебра 74
1 Скалярное произведение и его свойства 74
2 Уравнение плоскости. Нормаль. Расстояние от точки до плоскости 75
3 Способы задания прямой. Расстояние от точки до прямой 76
4 Векторное произведение и его свойства 78
5 Смешанное произведение и его свойства 80
6 Матрицы. Операции над матрицами и их свойства 81
7 Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости 85
8 Четные и нечетные перестановки. Определитель квадратной матрицы 88
9 Разложение определителя по строке или столбцу 91
10 Свойства определителя. Возможность прибавлять к одной строке комбинацию других 93
11 Произведение матриц и его определитель 94
12 Обратная матрица и ее вычисление 94
13 Миноры. Теорема о базисном миноре 95
14 Ранг матрицы. Совпадение ранга с порядком базисного минора 96
15 Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Канелли 97
16 Решение системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера 98
17 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений 103
18 Базис линейного пространства и размерность пространства. Координаты вектора 104
19 Линейное пространство и подпространство. Пересечение подпространств и свойства их базисов 107
20 Прямая сумма подпространств 109
21 Линейные операторы и операции над ними. Матрица оператора, произведения и суммы операторов 111
22 Образ и ядро линейного оператора. Связь между их размерностями 113
23 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора 114
24 Изменение базиса и матрица перехода 117
25 Евклидово пространство. Теорема Коши-Буняковского и неравенство треугольника 118
27 Ортогональное дополнение к подпространству эвклидова пространства. Ортогонализация системы векторов 121
28 Ортогональный оператор и его инвариантные подпространства 124
29 Существование ортонормированнного базиса из собственных векторов симметричного оператора 125
30 Квадратичная форма и ее матрица. Существование базиса, в котором матрица диагональна 128
31 Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Теорема об индексе инерции 130
32 Эллипс. Его свойства. Каноническое уравнение. Фокусы и директрисы 134
33 Гипербола. Ее свойства. Каноническое уравнение. Фокусы и директрисы 136
34 Парабола. Ее свойства. Каноническое уравнение. Фокус и директриса 139
35 Общее уравнение (кривой) второго порядка на плоскости 141
36 Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. Формула Муавра 142
37 Извлечение корней n-й степени из комплексного числа. Извлечение квадратного корня в алгебраическом виде 145
38 Теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Формулы Виета 146
39 Корни многочлена с действительными коэффициентами и разложение многочлена на действительные множители 148