Модели распространения эпидемий

Рисунок 4. Динамика количества неинфицированных особей для различных значений параметра вероятности заражения βРисунок5. Динамика количества инфицированных особей для различных значений параметра вероятности заражения βЭта модель может служить в качестве информационной базы для самого общего случая. Однако если ввести в нее фактор выздоровления инфицированных особей, степень реалистичности и пригодности модели для прогнозирования значительно возрастет.По аналогии с параметромβ, который является коэффициентом пропорциональности, отражающим вероятность заражения незараженной особи при контакте с зараженной, введем параметр γ, равный вероятности выздоровления инфицированной особи. Тогда модель распространения эпидемии примет вид системы уравнений: , (12)Примем следующие начальные условия: количество выздоровевших особей в начале эпидемии равным нулю, остальные начальные условия – как в предыдущей модели:x(0) = n, y(0) = a, z(0) = 0. (13)Балансовое условие, аналогичное (3 выглядит как:x + y + z = n+a. (14)После деления dy/dtнаdx/dtв системе (12) получаем уравнение:. (15)Его решение после интегрирования и преобразований (15) выглядит как:. (16)Исключив y из (16) и (14) получаем зависимость x и z в форме. (17)Подставляя в это уравнение (16) и (14), получаем зависимость у и z, после чего подставляем ее в исходную систему уравнений, приходим к уравнению. (18)На рис. 6 показано семейство графиков x(t) и y(t),полученных по формулам(17) и (18) для различных значений коэффициента γ, определяющего выздоровления заболевших особей.Рисунок 6. Динамика количества инфицированных особей для различных значений скорости выздоровленияДифференциальные уравнения могут быть достаточно сложными и далеко не всегда доступными аналитическим методам решений. Современные пакеты прикладных программ, такие как MatLab, MathCad, Maple, Mathematica и другие содержат встроенные функции, обеспечивающие численные решения сложных дифференциальных уравнений и систем. Помимо этого, они дают возможность наглядного графического представления полученных решений в виде графиков или таблиц.Рисунок 6. Динамика количества неинфицированных особей для различных значений скорости выздоровленияРассмотрим дискретную модель динамики инфекционного процесса. Динамику развития и угасания эпидемии на примере сезонного гриппа представим следующей дискретной системой:где переменная X(t) описывает количество больных и неизолированных людей, Y(t) – количество восприимчивых, здоровых людей, коэффициент k – скорость распространения эпидемии.Для ее решения разработана программа в среде MATLAB, код которой приведен ниже:1- x(1)=1368; % количество заболевших, чел.2- y(1) = 4568047; % количество здоровых, чел.3- k=.26*10^(-6);% коэффициент скорости распространения 4- n=60; % горизонт прогнозирования5- for i=1:n,6- x(i+1)=k*x(i)*y(i);7- y(i+1)=y(i)-k*x(i)*y(i);8- end;9- bar(1:61,x);10- gridЕе решение было проведено в первом варианте на примере Санкт-Петербурга при следующих исходных данных и предположениях: в соответствии со статистическими данными переписи население города составляет 4568047 жителей. Предполагаем, что все восприимчивы к вирусу гриппа. Прирост больных за день прямо пропорционален числу контактов больных и здоровых. В системе смоделирована динамика развития эпидемии с коэффициентом скорости распространения равным k=.26*10-6. На рис. 7 приведен скриншот этой программ в пакете MATLAB.Результаты представлены гистограммой на рис8. Рисунок 7 Общий вид дискретной модели распространения эпидемии сезонного гриппа в пакете MATLABРисунок 8 Результат решения задачи распространения эпидемии в городе с населением 4,5 млн человекРассмотрим другой сценарий эпидемии в городе с населением 1 млн человек. Исходные данные:y(0) = 1000000 чел;начальное число заболевших х(0)= 468 человек;коэффициент, отражающий вероятность передачи инфекции - k=.26*10^(-5)Код программы на MatLab:x(1)=468; % количество заболевших, челy(1) = 1000000; % количество здоровых, челk=.26*10^(-5);% коэффициент скорости распространенияn=15; % горизонт прогнозированияfori=1:n,x(i+1)=k*x(i)*y(i);y(i+1)=y(i)-k*x(i)*y(i);end;bar(1:16,x);gridАнализ результатов решения, приведенный на рисунке 8 показывает, что в городе с меньшим населением эпидемическое заболевание является менее продолжительным, поскольку контакты с незаболевшими исчерпываются быстрее. При этом изменяется динамика распространения инфекции: она быстрее нарастает, за более короткий срок достигает пика, и быстро исчерпывается, сходит на нет.Распределение становится асимметричным, в то время как на большей выборке оно является нормальным.Рисунок 8 Результат решения задачи распространения эпидемии в городе с населением 1млн человекТаким образом, варьируя значение коэффициента k, можно смоделировать различные сценарии возможного развития эпидемии гриппа. Данные сценарии целесообразно использовать для обоснования объема финансирования противоэпидемических мер для конкретного города и государства в целом. ЗаключениеМоделирование эпидемических процессов применяется в исследовательских целях, для прогнозирования характера эпидемического процесса и определения стратегии служб здравоохранения. Математические модели могут оказать помощь при исследовании поведения системы под воздействием различных условий, порождающих наблюдаемые объекты и явления окружающей среды.На распространении эпидемии сказываются такие факторы, как интенсивность контактов особей друг с другом, наличие источников заболевания, недостаточные профилактические меры. Знание закономерностей возникновения и распространения эпидемий в популяциях живых организмов помогает вовремя локализовать или предотвратить их. В этой работе были рассмотрены две модели распространения эпидемий, описываемые дифференциальными уравнениями и дискретной моделью. Они позволили исследовать динамику развития эпидемии, а также зависимость ее продолжительности, количества переболевших особей и других показателей от параметров популяции, характеризующих использование профилактических мер и интенсивность контактов особей друг с другом. Они позволили исследовать динамику развития эпидемии, а также зависимость ее продолжительности, количества переболевших особей и других показателей от параметров популяции, характеризующих использование профилактических мер и интенсивность контактов особей друг с другом. ЛитератураАнфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. - Финансы и статистика, 2009. - 368 с.http://graphics.cs.msu.su/courses/cg2000b/hw1/hw-1.htm (URL).http://www.medvestnik.ru/Gazeta/2001/030/p11.html (URL).Бэйли Р. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. – Иж.: ИКИ, 2003. 184 с.