Вам нужна курсовая работа?
Интересует Высшая Математика?
Оставьте заявку
на Курсовую работу
Получите бесплатную
консультацию по
написанию
Сделайте заказ и
скачайте
результат на сайте
1
2
3

Модели распространения эпидемий

  • 26 страниц
  • 5 источников
  • Добавлена 19.07.2015
1 078 руб. 1 540 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 2 Принципы моделирования эпидемиологических процессов в рамках системного анализа 5
2.1 Системная характеристика эпидемических процессов 6
2.2 Типы математических моделей в эпидемиологии 10
Глава 3. Модели эпидемий, описываемые дифференциальными уравнениями 13
Заключение 25
Литература 26

Фрагмент для ознакомления

Рисунок 4. Динамика количества неинфицированных особей для различных значений параметра вероятности заражения βРисунок5. Динамика количества инфицированных особей для различных значений параметра вероятности заражения βЭта модель может служить в качестве информационной базы для самого общего случая. Однако если ввести в нее фактор выздоровления инфицированных особей, степень реалистичности и пригодности модели для прогнозирования значительно возрастет.По аналогии с параметромβ, который является коэффициентом пропорциональности, отражающим вероятность заражения незараженной особи при контакте с зараженной, введем параметр γ, равный вероятности выздоровления инфицированной особи. Тогда модель распространения эпидемии примет вид системы уравнений: , (12)Примем следующие начальные условия: количество выздоровевших особей в начале эпидемии равным нулю, остальные начальные условия – как в предыдущей модели:x(0) = n, y(0) = a, z(0) = 0. (13)Балансовое условие, аналогичное (3 выглядит как:x + y + z = n+a. (14)После деления dy/dtнаdx/dtв системе (12) получаем уравнение:. (15)Его решение после интегрирования и преобразований (15) выглядит как:. (16)Исключив y из (16) и (14) получаем зависимость x и z в форме. (17)Подставляя в это уравнение (16) и (14), получаем зависимость у и z, после чего подставляем ее в исходную систему уравнений, приходим к уравнению. (18)На рис. 6 показано семейство графиков x(t) и y(t),полученных по формулам(17) и (18) для различных значений коэффициента γ, определяющего выздоровления заболевших особей.Рисунок 6. Динамика количества инфицированных особей для различных значений скорости выздоровленияДифференциальные уравнения могут быть достаточно сложными и далеко не всегда доступными аналитическим методам решений. Современные пакеты прикладных программ, такие как MatLab, MathCad, Maple, Mathematica и другие содержат встроенные функции, обеспечивающие численные решения сложных дифференциальных уравнений и систем. Помимо этого, они дают возможность наглядного графического представления полученных решений в виде графиков или таблиц.Рисунок 6. Динамика количества неинфицированных особей для различных значений скорости выздоровленияРассмотрим дискретную модель динамики инфекционного процесса. Динамику развития и угасания эпидемии на примере сезонного гриппа представим следующей дискретной системой:где переменная X(t) описывает количество больных и неизолированных людей, Y(t) – количество восприимчивых, здоровых людей, коэффициент k – скорость распространения эпидемии.Для ее решения разработана программа в среде MATLAB, код которой приведен ниже:1- x(1)=1368; % количество заболевших, чел.2- y(1) = 4568047; % количество здоровых, чел.3- k=.26*10^(-6);% коэффициент скорости распространения 4- n=60; % горизонт прогнозирования5- for i=1:n,6- x(i+1)=k*x(i)*y(i);7- y(i+1)=y(i)-k*x(i)*y(i);8- end;9- bar(1:61,x);10- gridЕе решение было проведено в первом варианте на примере Санкт-Петербурга при следующих исходных данных и предположениях: в соответствии со статистическими данными переписи население города составляет 4568047 жителей. Предполагаем, что все восприимчивы к вирусу гриппа. Прирост больных за день прямо пропорционален числу контактов больных и здоровых. В системе смоделирована динамика развития эпидемии с коэффициентом скорости распространения равным k=.26*10-6. На рис. 7 приведен скриншот этой программ в пакете MATLAB.Результаты представлены гистограммой на рис8. Рисунок 7 Общий вид дискретной модели распространения эпидемии сезонного гриппа в пакете MATLABРисунок 8 Результат решения задачи распространения эпидемии в городе с населением 4,5 млн человекРассмотрим другой сценарий эпидемии в городе с населением 1 млн человек. Исходные данные:y(0) = 1000000 чел;начальное число заболевших х(0)= 468 человек;коэффициент, отражающий вероятность передачи инфекции - k=.26*10^(-5)Код программы на MatLab:x(1)=468; % количество заболевших, челy(1) = 1000000; % количество здоровых, челk=.26*10^(-5);% коэффициент скорости распространенияn=15; % горизонт прогнозированияfori=1:n,x(i+1)=k*x(i)*y(i);y(i+1)=y(i)-k*x(i)*y(i);end;bar(1:16,x);gridАнализ результатов решения, приведенный на рисунке 8 показывает, что в городе с меньшим населением эпидемическое заболевание является менее продолжительным, поскольку контакты с незаболевшими исчерпываются быстрее. При этом изменяется динамика распространения инфекции: она быстрее нарастает, за более короткий срок достигает пика, и быстро исчерпывается, сходит на нет.Распределение становится асимметричным, в то время как на большей выборке оно является нормальным.Рисунок 8 Результат решения задачи распространения эпидемии в городе с населением 1млн человекТаким образом, варьируя значение коэффициента k, можно смоделировать различные сценарии возможного развития эпидемии гриппа. Данные сценарии целесообразно использовать для обоснования объема финансирования противоэпидемических мер для конкретного города и государства в целом. ЗаключениеМоделирование эпидемических процессов применяется в исследовательских целях, для прогнозирования характера эпидемического процесса и определения стратегии служб здравоохранения. Математические модели могут оказать помощь при исследовании поведения системы под воздействием различных условий, порождающих наблюдаемые объекты и явления окружающей среды.На распространении эпидемии сказываются такие факторы, как интенсивность контактов особей друг с другом, наличие источников заболевания, недостаточные профилактические меры. Знание закономерностей возникновения и распространения эпидемий в популяциях живых организмов помогает вовремя локализовать или предотвратить их. В этой работе были рассмотрены две модели распространения эпидемий, описываемые дифференциальными уравнениями и дискретной моделью. Они позволили исследовать динамику развития эпидемии, а также зависимость ее продолжительности, количества переболевших особей и других показателей от параметров популяции, характеризующих использование профилактических мер и интенсивность контактов особей друг с другом. Они позволили исследовать динамику развития эпидемии, а также зависимость ее продолжительности, количества переболевших особей и других показателей от параметров популяции, характеризующих использование профилактических мер и интенсивность контактов особей друг с другом. ЛитератураАнфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. - Финансы и статистика, 2009. - 368 с.http://graphics.cs.msu.su/courses/cg2000b/hw1/hw-1.htm (URL).http://www.medvestnik.ru/Gazeta/2001/030/p11.html (URL).Бэйли Р. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. – Иж.: ИКИ, 2003. 184 с.

Литература

1. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. - Финансы и статистика, 2009. - 368 с.
2. http://graphics.cs.msu.su/courses/cg2000b/hw1/hw-1.htm (URL).
3. http://www.medvestnik.ru/Gazeta/2001/030/p11.html (URL).
4. Бэйли Р. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970.
5. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. – Иж.: ИКИ, 2003. 184 с.

Опубликовано

Опубликовано

Содержание

  • Введение
  • 1. Постановка задачи
  • 2. Создание модели в AnyLogic
  • 3. Исследование модели
  • Выводы
  • Библиография
  • Введение
  • AnyLogic - инструмент моделирования нового поколения, основанный не на результатах, полученных в теории моделирования и в информационных технологиях за последнее десятилетие.
  • Язык моделирования AnyLogic и доказали свою эффективность в моделировании больших систем уровня сложности. Основными строительными блоками модели AnyLogic являются активные объекты, которые позволяют моделировать любые объекты реального мира.
  • Активный объект является экземпляром класса активного объекта. Чтобы создать модель AnyLogic, нужно создать классы активных объектов (или использовать объекты библиотек AnyLogic) и поставить в их отношениях. AnyLogic интерпретирует создаваемые нами графически классы активных объектов в классы Java. Таким образом, мы можем наслаждаться всеми преимуществами объектно-ориентированного моделирования: наследие, полиморфизмом и др.
  • Наследование позволяет значительно упростить процесс разработки моделей. Например, создав базовый класс, моделирующий автомобиль, мы можем промоделировать различные классы автомобилей (спортивные автомобили, грузовики, и др.) с помощью подклассов класса. Основные характеристики будут унаследованы от базового класса и специфические для каждого класса автомобилей функций будут применяться в подклассы.
  • Активные объекты могут содержать вложенные объекты, а уровень вложенности неограниченный. Это позволяет производить декомпозицию модели на любое количество уровней детализации. Путем инкапсуляции объектов, мы можем также скрыть предметы, детали разработки моделируемого объекта.
  • Активные объекты являются четко определенные интерфейсы взаимодействия - они взаимодействуют с окружающей их средой только через элементы переднего плана. Это разделение внутреннего устройства активного объекта и какой-либо информации об окружении объекта облегчает создание систем со сложной структурой, но также сделать активные объекты могут быть повторно использованы. Создав класс активного объекта, можно создать любое количество объектов, экземпляров этого класса.
  • имитационное моделирование-это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения дополнительной информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

    Узнать стоимость работы