Модели хаоса и катастроф.

Принятые допущения позволяют формализовать модель такой двухвозрастной популяции как систему разностных уравнений: (6)где b–коэффициент воспроизводства популяции в первой группе, c– выживаемость половозрелых особей. В работе [3] показано, что все множество допустимых значений параметров bи c(b>0, 01, b+2c<3 – существует устойчивое ненулевое положение равновесия;b+2c>3 – существуют неустойчивые нулевое и ненулевое стационарные точки системы (6).Проведем численную реализацию рассмотренной выше дискретной модели поведения двухвозрастной популяции.2.2. Результаты численной реализации дискретной модели поведения двухвозрастной популяцииВ соответствии с выделенными выше тремя областями характерного поведения системы были проведены серии ее испытаний.Первая серия:b+c<1. Были выбраны параметры с = 0,1, b= 0,4, тогда b+c=0,5, начальные значения количества поколений в каждой из двух групп: х0 = 0,2; у0 = 0,1. На рис. 5 показана динамика количества особей обеих групп популяции.Рис. 5 Динамика количества особей обеих групп популяции(с = 0,1, b=0,4)На этом рисунке видны колебания численностей обеих групп популяции с изменяющимся периодом. Численность обеих групп в соответствии с теоретическим предсказанием стремятся к нулю. Аттрактор этой системы приведен на рис. 6.Рис. 6.Аттрактор дискретной системы двухвозрастной популяции (при (с = 0,1, b= 0,4) На этом рисунке также можно видеть, как система из начального положения (0,2; 0,1) стремится к нулю – прекращает воспроизводство и вымирает.Вторая серия:b+c>1, b+2c<3. Были выбраны параметры с = 0,25, b= 0,8, тогда b+c=1,05, начальные значения количества поколений в каждой из двух групп те же, что и в первой серии численного эксперимента: х0 = 0,2; у0 = 0,1. На рис. 7 показана динамика количества особей обеих групп популяции во второй серии численного эксперимента.Рис. 7. Динамика количества особей обеих групп популяции(с = 0,25,b=0,8)С увеличением параметра b поведение системы меняется частота колебаний увеличивается, система быстрее стремится к устойчивому ненулевому положению равновесия. Аттрактор этой системы, показанный на рис. 8 подтверждает характер установления ненулевого равновесного состояния.Рис. 8.Аттрактор дискретной системы двухвозрастной популяции (при (с = 0,25, b= 0,8)Третья серия:b+c>1, b+2c>3. Были выбраны параметры с = 1,2, b= 0,8, тогда b+c=3,2, начальные значения количества поколений в каждой из двух групп те же, что и в первой серии численного эксперимента: х0 = 0,2; у0 = 0,1. На рис. 9 показана динамика количества особей обеих групп популяции в третьей серии численного эксперимента.Рис. 9. Динамика количества особей обеих групп популяции(с = 1,2,b=0,8)На графике (рис. **) видны незатухающие регулярные колебания в фазовом пространстве. Аттрактор (рис **) подтверждает это: он представляет собой замкнутую кривую в фазовом пространстве, характерную для предельного цикла.Рис. 10.Аттрактор дискретной системы двухвозрастной популяции (при (с = 1,2, b= 0,8)Приведенные рисунки показывают вид положений системы в фазовом пространстве, к которым стремятся переменные x,yприразличных b и c. По мере изменения параметра bхарактер линий значительно меняется. При b=2.8 аттрактор системы (11) представляет собой замкнутую кривую в фазовом пространстве – предельный цикл. С увеличением параметра bзамкнутая кривая трансформируется в области со сложной структурой. При b =3,31 колебания становятся хаотическими (рис. 11), а аттрактор – странным (рис. 12).Рис. 11 Динамика количества особей обеих групп популяции(с = 0,15,b= 3,31)Рис. 12 Аттрактор дискретной системы двухвозрастной популяции (при (с = 0,15, b=3,31)Такое поведение системы позволяет предположить наличие сложной серии бифуркаций аттракторов. Таким образом, даже простая модель автономной двухвозрастной популяции (6.11), как и модель одновозрастной популяции, содержит в себе большее разнообразие поведения численности одной изолированной локальной популяции. ЗаключениеИз результатов анализа указанных двух моделей можно сделать один общий вывод: даже самые простые детерминированные дискретные модели динамики одиночных популяций могут приводить к сложному поведению, характеризуемому циклическими или нерегулярными хаотическими колебаниями численности популяции. В математическом плане причиной появления периодических или нерегулярных решений является нелинейность моделей. Косвенно параметры модели могут учитывать воздействие различных внешних факторов. Но даже при постоянных параметрах динамика рассматриваемых систем содержит различные колебания, в том числе и нерегулярные. То есть сложное поведение в динамической системе может быть связано с внутренней сущностью системы и может проявиться в отсутствие влияния внешних факторов.ЛитератураАнфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учебное пособие. - Финансы и статистика, 2009. - 368 с.Форрестер Дж. Мировая Динамика. М.: Наука, 1978. Фрисман Е. Я. Странные аттракторы в простейших моделях динамики численности популяции с возрастной структурой. // Доклады Академии Наук, 1994. Т.338. №2. C.282–286. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983. 134 с. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. – Иж.: ИКИ, 2003. 184 с.