Решения диференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.После подстановки полученных значений получаем:Применение метода для уравнения первого порядкаРассмотрим сначала дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием.Пусть правая часть уравнения (1) является аналитической функцией в начальной точке , т. е. в некоторой окрестности этой точки может быть разложена в степенной ряд вида где - целые неотрицательные числа и - постоянные коэффициенты. Тогда существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, причем это решение является аналитическим в точке и, следовательно, может быть представлено в виде ряда Тейлора (1)Где (p=0,1,2…)и h — некоторое положительное число. Коэффициент разложения (1) определяется непосредственно из начального условия:;следующий коэффициент находится на основании дифференциального уравнения:Что касается остальных коэффициентов (p>1) ряда (1), то они могут быть шаг за шагом найдены путем последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения. Например, дифференцируя по х обе части уравнения и используя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь Отсюдагде число уже известно. Далее находим Аналогично могут быть определены коэффициенты и т. д. и, следовательно, формально построено аналитическое решение у(х).Метод разложения решения дифференциального уравнения в степенные ряды часто используется как элемент более практичных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, для некоторых численных методов интегрирования дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.Примеры решения задачи в MapleЗадача №1: Методом разложения в степенной ряд найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг Дано: - дифференциальное уравнение - начальное условие - интервал - шагНайти: значение Решение:Полагая и (),будем иметь, Дифференцируя данное уравнение , получим:> diff(x+y(x)^2, x);Отсюда.Дифференцируя еще раз, будем иметь> diff(diff(x+y(x)^2, x), x);ПоэтомуАналогично находим остальные производные:, , .Таким образом,Отсюда имеем Задача №2: Методом разложения в степенной ряд найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .Дано: - дифференциальное уравнение - начальное условиеНайти: значение Решение:Будем находить приближенное решения данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).Имеем: , подставляя начальные условия, получим: Затем находим вторую производную:> diff(x*y(x), x);Подставляя начальные условия, получим:Находим третью производную:> diff(diff(x*y(x), x), x);Подставляем начальные условия:Далее, находим четвертую производную:> diff (diff(diff(x*y(x),x),x), x);Подставляем начальные условия:и т.д.Таким образом, используя формулу (13), получаем разложение в степенной ряд:Подставив в полученное выражение , получим Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:Точное решениеЧисленное решение1,000001,000000,000000,0000001,020201,020200,000000,0000011,083291,083200,000090,0000801,197221,196200,001020,0008501,377131,371200,005930,0043041,648721,625000,023720,014388По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.Пример уравнения второго порядкаНайти первые четыре отличных от нуля, члена разложения в ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:. ; ;.Ответ:.ЗаключениеВ данной работе был рассмотрен основной метод приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: метод разложения решения в степенной ряд. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.Список используемой литературыЛапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: Академия, 2005. – 384 с.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Наука, 1967. – 368 с.Ортега Дж., Пул У. Ведение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974. – 331 с. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.