Апроксимация системами базисных сплайнов

Применение B-сплайнов в различных задачах

В реальном мире большое количество физических процессов по самой своей природе могу быть интерпретированы как сплайны.
В механике это деформация гибкой пластины или стержня, зафиксированных в отдельных точках; траектория движения тела, если сила, действующая на него меняется ступенчато (траектория искусственного космического объекта с активными и инерционными отрезками движения, траектория движения самолёта при ступенчатом изменении тяги двигателей и изменении профиля крыла и т. д.).
В термодинамике это теплообмен в стержне, составленном из фрагментов с различной теплопередачей. В химии - диффузия через слои различных веществ. В электричестве - распространение электромагнитных полей через разнородные среды. То есть сплайн во многих случаях является решением дифференциальных уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы.
Применение сплайнов оказывается полезным при решении нелинейных уравнений, так как способствует повышению точности при формировании функций, представляющих собой результат нелинейного преобразования. Тем более этот прием может быть целесообразным в случае многократного выполнения нелинейных преобразований, что свойственно итерационным методам
Одно из самых наглядных применений сплайны имеют в машинной графике. С их помощью можно строить весьма сложные плоские кривые, с помощью сплайн-поверхностей можно моделировать очень сложные реалистичные модели объектов.
Также сплайны применяют в экономике, например, для моделирования процентных ставок [6].
Приведем еще один очень конкретный пример, который реализуется как задача проведения гладкой кривой через точки, произвольным образом лежащие на плоскости.
Допустим, имеется передвижная лаборатория, установленная на автомобиле, которая двигается по дороге и записывает свои географические координаты на жесткий диск бортового компьютера через определенные интервалы времени.



Лаборатория вычисляет координаты по данным, получаемым со спутников GPS (Global Positioning System - глобальной системы позиционирования) и инерциальной навигационной системы. Координаты записываются как во время движения лаборатории, так и в моменты ее временных остановок. Требуется получить траекторию движения лаборатории, проведя гладкую интерполяционную кривую через точки, записанные во время проведения заезда. Траектория должна не иметь изломов в местах остановки лаборатории, когда точки траектории имеют одинаковые координаты. Эта задача решается с использованием кубических сплайнов с неравномерным сеточным разбиением параметра t.

 Построение аппроксимации функции в пакете Maple

Ниже приведен текст программы:

# построение базисных сплайнов различных порядков









# по заданным точкам строим приближающую кривую (кубические сплайны)





# Получаем следующий результат:

# Далее строим приближение средствами встроенных пакетов:





Заключение

В данной курсовой работе рассмотрен вопрос приближения функций при помощи систем базисных сплайнов. Приведены необходимые определения и утверждения, относящиеся к свойствам сплайнов и базисных сплайнов, указаны преимущества сплайнов при построении аппроксимации, приведены примеры применимости сплайнов. Также написана программа, которая строит такие приближения по заданным значениям функции.
Литература

Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения -М.: Наука, 1984. - 356 с.
Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001
Корнейчук, Н. П., Бабенко, В. Ф., Лигун, А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов - К.: Наукова думка, 1992. — 304 с
Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ. Ю.Н. Субботина, под ред. С.Б. Стечкина / М.: «Мир», Москва, 1972, 316 с.
http://ивтб.рф/exams/вычмат/40.htm
О применении сплайн функций для моделирования процентных ставок, http://www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=26553