Квадратичные отображения в C^n
Заказать уникальную курсовую работу- 1010 страниц
- 2 + 2 источника
- Добавлена 27.01.2016
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение 3
1. Основная теорема алгебры. 4
1.1 Доказательство вспомогательных утверждений. 4
1.2 Доказательство основной теоремы. 7
2.Квадратичные отображения в Cn 8
Литература 10
Билинейное отображение B(x, y) называется симметричным, если для любых элементов выполняется равенствоB(x, y)=B(y, x).Билинейное отображение B(x, y) называется кососимметричным,если для любых элементов выполняется условие B(x, y)= -B(y, x).Определение.Квадратичным отображением на линейномпространстве называется отображение ,значение которого на любом векторе определяется равенством Q(x) = B(x, x),где B–симметричное билинейное отображение.Теорема. Пусть - квадратичное сюрьективное отображение. Тогда для любого выполняется условие Доказательство. Предположим, что при сделанных предположениях утверждение теоремы не верно. Тогда найдется вектор такой, что . выберем вектор ,линейно независимый с вектором h. Тогда любой вектор z можно представить в виде линейной комбинации векторов hи ς. Пусть . Вычислим Q(z).Так как , то получим Возможны два случая 1) векторы и линейно независимы; 2) векторы и линейно зависимы.1) Рассмотрим первый случай. В этом случае векторы и могут быть выбраны в качестве базисных. Тогда в этом базисе отображение Q(z) будет иметь вид: . Но тогда уравнение не будет иметь решений, в базисе, задаваемым векторами uи v. Это противоречит сюрьективности отображения Q.2) Во втором случае, когда векторы uи vлинейно зависимы, получим, что отображение Q(z) отображает в линейное пространство, порожденное вектором u. Следовательно, в этом случае уравнение , где w=u+ξ, а вектор ξ является линейно независимым с u, не будет иметь решения. Это опять противоречит сюрьективности отображения Q.Теорема доказана.Литература1. Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. — СПб.: Изд-во «Лань»,2007. — 416с.2. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во «Высш.Школа», 1981г. – 687с.3. А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во «Наука»,1971 г. – 431с.
1. Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. — СПб.: Изд-во «Лань»,2007. — 416с.
2. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во «Высш.Школа», 1981г. – 687с.
3. А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во «Наука»,1971 г. – 431с.
Вопрос-ответ:
Что такое квадратичное отображение в Cn?
Квадратичным отображением в Cn называется отображение f: Cn -> C, которое можно представить в виде f(x) = x*A*x^T, где x - вектор в Cn, A - квадратная матрица порядка n.
Что такое основная теорема алгебры?
Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен степени выше нуля с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Как доказывают вспомогательные утверждения для основной теоремы алгебры?
Для доказательства вспомогательных утверждений используется принцип математической индукции и метод матричной алгебры.
Как доказывается основная теорема алгебры?
Доказательство основной теоремы алгебры основывается на предположении, что многочлен не имеет комплексных корней. Затем применяется метод матричной алгебры для получения противоречия.
Что такое билинейное отображение?
Билинейное отображение B: X x Y -> Z это отображение, которое линейно по каждому аргументу, то есть B(a*x + b*y, z) = a*B(x,z) + b*B(y,z) и B(x, a*y + b*z) = a*B(x,y) + b*B(x,z) для любых элементов x, y, z и скаляров a, b.
Что такое квадратичные отображения в C^n?
Квадратичными отображениями в C^n называются отображения, которые могут быть представлены в виде многочлена степени 2 от комплексных переменных.
Что такое основная теорема алгебры?
Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен степени больше нуля с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Как доказываются вспомогательные утверждения основной теоремы алгебры?
Вспомогательные утверждения основной теоремы алгебры доказываются с использованием методов комплексного анализа и алгебры, таких как лемма Гурса и принцип максимума модуля.
Как доказывается основная теорема алгебры?
Основная теорема алгебры доказывается с использованием методов комплексного анализа и алгебры, включая вспомогательные утверждения, такие как лемма Гурса и принцип максимума модуля.
Что такое билинейное отображение?
Билинейное отображение - это отображение двух векторных пространств, которое линейно по каждому из аргументов.
Что такое квадратичное отображение?
Квадратичным отображением называется билинейное отображение, которое дополнительно удовлетворяет условию, что оно равно квадрату некоторого линейного отображения.
Что такое билинейное отображение?
Билинейным отображением на линейном пространстве называется отображение, линейное по каждому аргументу. То есть, если заданы два линейных пространства V и W, билинейное отображение это функция B: V x W -> R, обладающая линейностью по обоим аргументам.