Арифметика р-адических чисел

е наибольшую цифру)).Пример 4. В 5-ричной системе счисления √−1 = ...412013233 и ...032431212 (при возведении в квадрат они дают ...444444444, т. е. −1; определить, какое из этих двух чисел равно i, а какое −i, невозможно).Пример 5. В 7-ричной системе счисления нельзя записать √−1, поскольку никакое целое число при возведении в квадрат по модулю 7 не даёт 6 (т. е. нельзя подобрать последнюю цифру).Пример 6. В 7-ричной системе счисления √−3 = ...20155410615 и ...46511256052 (при возведении в квадрат они дают ...66666666664, т. е. −3).Пример 7. В 13-ричной системе счисления √−1 = ...101550155 и ...BCB77CB78 (при возведении в квадрат они дают ...CCCCCCCCC, т. е. −1).Складывая и умножая мнимую единицу с другими числами, можно получать различные комплексные числа.3.Решение Задач1.4 Докажите, что следующие метрические пространства не являются полными, и постройте их пополнения:1) Rс расстоянием 2)Rс расстоянием Решение.Рассмотрим метрическое пространство Rс расстояниемРассмотрим в этом метрическом пространстве последовательность точек. Тогда(Используем формулу )Так как , то получим, что Следовательно, последовательность точек является последовательностью Коши. Поэтому к метрическому пространству Rнеобходимо добавить точку . Аналогичным образом, рассматривая последовательность точек, получим, что к метрическому пространству R необходимо добавить точку . Будем считать, что . Пусть . Покажем, пространство является полным. Пусть является последовательностью Коши. ТогдаЕсли и , то Следовательно, является последовательностью Коши в Rс расстоянием. Поэтому найдется , к которой сходится последовательность по метрике .Но тогда последовательность сходится к по метрике ,так как в этом случаеПусть теперь последовательность не является ограниченной. Предположим, что Тогда, т.е. последовательность имеет предел в. Аналогичным образом иожно рассмотреть случай, когда Рассмотрим метрическое пространство Rс расстояниемРассмотрим в этом метрическом пространстве последовательность точек. ТогдаТак как , то последовательность точек является последовательностью Коши. Поэтому добавим к метрическому пространству R точку . Будем считать, что .Покажем, что полученное пространство является полным. Пусть является последовательностью Коши. ТогдаЕсли и , то Следовательно, является последовательностью Коши в Rс расстоянием. Поэтому найдется , к которой сходится последовательность по метрике .Но тогда последовательность сходится к по метрике. Действительно, Пусть теперь последовательность не является ограниченной.Если и , тоНо последнее неравенство означает, что последовательность является последовательностью Коши по метрике . Но тогда эта последовательность должна быть ограниченной. Противоречие. Следовательно, выполняется условие . Но тогда .2.11. Докажите, что норма архимедова тогда и только тогда, когда Решение. Пусть норма архимедова. Тогда для 1можно указать такое , что .Поэтому . Следовательно, .Пусть теперь . Следовательно, можно указать такую последовательность чисел , что .Но тогда для любого получим . Поэтому для заданного yможно найти к такое, что будет выполняться неравенство . Следовательно, норма является архимедовой.2.12 Докажите, что если норма на поле неархимедова, то любая точка замкнутого шара в является его центром (и то же самое для открытого шара )Решение.Пусть является произвольной точкой шара .Докажем, что . Действительно, если , то ,т.е.. Аналогично доказывается обратная импликация: 2.13 Докажите, что если норма неархимедова, то также неархимедова норма для любого . (Сравните с предложением 2.7 для евклидова абсолютного значения на Q.Решение.Пусть. Докажем, что является неархимедовой нормой.ЗаключениеВ работе рассмотрено понятие p-адических чисел, рассмотрен способ введения p-адических чисел через эквивалентные последовательности Коши.Рассмотрены правила выполнения арифметических действий с этими числами. Решены задачи, содержащиеся в книге Каток С.Б. «p-адический анализ в сравнении с вещественным»ЛитератураКаток С.Б.p-адический анализ в сравнении с вещественным.М.:МЦНМО, 2004г., 108 с.Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1981, 192 с.