Метод штрафов численного решения задач условной оптимизации (метод внешних и метод внутренних штрафов)

К недостаткам метода барьерных функций по отношению к методу внешних штрафных функций можно отнести то, что он имеет смысл только внутри допустимого множества, а это заставляет использовать специальные процедуры минимизации вспомогательной функции, F (x, r), которые содержат блок проверки выполнения ограничений задачи вблизи границы допустимого множества. Кроме того, метод барьерных функций для некоторых задач условной оптимизации, например задач с ограничениями-равенствами, вообще неприменим в связи с отсутствием внутреннего допустимого множества. Также для работы по этому методу нужна начальная точка, которая является внутренней для допустимого множества и которую можно найти иногда не просто. [2]Общим недостатком обоих методов является то, что на каждом из них шагу приходится решать, вообще говоря, непростую задачу безусловной минимизации, которая требует значительных вычислительных затрат. При этом в методе внешних штрафных функций задача усложняется с увеличением штрафных коэффициентов в связи с овражистой структурой функций, минимизируется, а также с появлением дополнительных локальных минимумов. Все это приводит к тому, что последовательное приближения по этому методу совпадают достаточно редко и требуют значительных вычислительных ресурсов. Поэтому при практической реализации метода внешних штрафных функций задачу решают, как правило, только для таких номеров k (возможно больших), для которых имеет место быстрое падение целевой функции f(x) и достаточная близость точекx(k) до множества Xпри незначительных вычислительных затратах. Если полученное таким образом приближение к решению задачи, не пригодно, то применяют другие более мощные методы с использованием данных, полученных с помощью метода внешних штрафных функций.[4]Следует заметить, что при использовании негладких штрафных функций некоторые из указанных проблем исчезают.ЗаключениеДля решения задач с ограничениями разработан ряд методов. Среди них методы, что сводят решения этих задач к задачам безусловной оптимизации вспомогательных функций, учитывающих наличие ограничения для итеративного поиска точки условного минимума. Эти методы превращают исходную задачу, в должной мере, построенную последовательность задач без ограничений с дальнейшим использованием развитого математического аппарата безусловной оптимизации.Ряд задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой находится оптимум. Процесс оптимизации при этом становится более сложным и может нарушаться даже условие, что оптимум должен достигаться в стационарной точке, что характеризуется нулевым градиентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке:. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения:, то будет найден условный минимум, которому соответствует точка:. Эта точка не является стационарной, так как.В методах штрафных функций предусмотрено преобразование задачи условной оптимизации на эквивалентную задачу безусловной оптимизации введением внешних штрафных функций.ЛитератураАлексеева Е.В., Кутненко О.А., Плясунов А.В. Численные методы оптимизации Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2008. 128 с.Габасов Р. и др. Методы оптимизации Минск: Издательство «Четыре четверти», 2011. — 474 с.Галеев Э.М. Оптимизация: Теория, примеры, задачи М.: Либроком, 2010. — 336 с.Денисова Э.В., Кучер А.В. Основы вычислительной математики Учебно-методическое пособие. СПб ГУ ИТМО, 2010, -164 с.Денисова Э.В., Кучер А.В. Основы вычислительной математики Учебное пособие, СПб ГУ ИТМО, 2010 г., 164 сДомашнев П.А. Условная и безусловная оптимизации функции многих переменных Учеб. пособие по курсу «Методы оптимизации» / П.А. Домашнев .— Липецк : ЛГТУ, 2013 – 72 с.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах 3-е изд., стер. — М.: Высш. шк. , 2008. — 480 с.Шарый С.П. Курс вычислительных методов. - Электронный ученик Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2014. - 507 с.