Расположение плоскости в пространстве

Так как прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярна к другой плоскости, то , поэтому . По доказанной теореме Глава II. Решение задач по теме «Взаимное расположение плоскостей в пространстве»№1 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости. [Погорелов], №25, стр. 23.Решение. Пусть В – данная точка и α – данная плоскость. Проведем через точку В плоскость , параллельную плоскости α.Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку В, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведем через точку А и прямую b плоскость . Тогда плоскость пересекает плоскости α и β по параллельным прямым , но прямая проходит через точку В, а прямая b тоже лежит в плоскости, и проходит через точку В и параллельна прямой . Тогда по аксиоме прямые b и должны совпадать, поэтому прямаяb лежит в плоскости β, что и требовалось доказать.№2Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках . Докажите, что четырехугольник тоже параллелограмм. [Погорелов], №28, стр.23Решение.По свойству параллельных плоскостей получаем , а также . Поэтому - параллелограмм (по определению).№3 докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.[Погорелов], №31, стр. 23Решение. Пусть А – данная точка, BCDE – данный параллелограмм. Рассмотрим плоскости BAC, CAD, DAE, EAB. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: . Так что , то есть , то есть .А, значит, –также параллелограмм. Что и требовалось доказать.№4 Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. [Погорелов]. №58, стр. 41Решение. Пусть α, пересекаются по прямой с, .Тогда проведем в плоскости β через точку С пересечения прямых a и c прямую b перпендикулярно с. Тогда плоскость образованная прямыми a и b, перпендикулярна прямой с. Так как α( по условию), то a; a. Такчто a. Что и требовалось доказать.№5 Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. В плоскости α проведена прямая, в плоскости β – прямая. Найдите расстояние между прямыми a и b, если расстояние между прямыми a и c равно 1,5 м, а между прямыми b и c – 0,8 м. [Погорелов], №62, стр. 41Решение. Возьмем в плоскости α точку А на прямой a. По теореме о трех параллельных прямых получаем, что a||b (так какa||c, b||c). Проведем AC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах AB. Так что АВ – искомое расстояние и АВ, так как α (по условию); из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора имеем:.ЗаключениеВ основу написания курсовой работы легли наглядные представления о пространстве, плоскости и пространственных фигурах полученные в процессе учебной деятельности в школе. Понятия  пространство и  плоскость, параллельность и перпендикулярность  послужили отправными точками для изучения признаков и свойств перпендикулярности и параллельности плоскостей. Так как активное и эффективное изучение стереометрии возможно лишь при решении задач различной сложности,  в курсовой работе, приведено решение практических задач. Теоретический и практический материал в работе сопровождается построением стереометрических чертежей.В курсовой работе были рассмотрены способы задания плоскостей в пространстве, изучены возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве, приведены основные аксиомы стереометрии, доказаны теоремы стереометрии о взаимном расположении плоскостей в пространстве.С помощью аксиом и теорем стереометрии  сформулированы основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве, которые можно и необходимо использовать в практической деятельности. Поэтому вопросы, рассмотренные в курсовой работе, имеют большое практическое значение. Свойства и признаки взаимного расположения плоскостей в пространстве широко используется во многих отраслях науки и техники, а особенно в машиностроении, геодезии и  особенно  в архитектуре.Таким образом,  поставленные задачи решены, цель достигнута.ЛитератураАтанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение, 2013. – 255 с.Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаева Е.В. Курс элементарной геометрии. Часть 2. – М.: Сантакс-Пресс, 1977. – 288 с.Костицин В. Н. Практические занятия по стереометрии / В. Н. Костицин. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 160 с.Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10-11 классов.13-е изд. - М.: 2014 - 175 с.Потоскуев Е. В. Геометрия. 10 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 250 с.Потоскуев Е. В. Геометрия. 10 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 223 с.Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 235 с.Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики/ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 3-е изд., стереотип. –с. М.: Дрофа, 2006. – 368 с.Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/ Сост. В. А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2007. – 304 с.Роганин А. Н. Алгебра и геометрия в таблицах и схемах./ А. Н. Роганин, В. А. Дергачев. – Ростов на Дону: Феникс, 2006. – 222 с.