Метод установления решения СЛАУ. Явный итерационный метод Чебышева
Заказать уникальную курсовую работу- 2121 страница
- 9 + 9 источников
- Добавлена 31.07.2016
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
1. Основные определения 5
2. Итерационный метод П.Л. Чебышева 6
3. Применение итерационного метода Чебышёва 10
4. Решение СЛАУ методом простой итерации 16
Заключение 19
Литература 21
Пусть x0=β, тогда:x1=b - a x0x2=b - a x1....xk+1=b - axkПрежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.101-1110-1-1101Приведем к виду:x1=1+0.1x2-0.1x3x2=1.1+0.1x1-0.1x3x3=10-x1+10x2Покажем вычисления на примере нескольких итераций.N=1x1=1 - 0 • 0.1 - 0 • (-0.1)=1x2=1.1 - 0 • 0.1 - 0 • (-0.1)=1.1x3=10 - 0 • (-1) - 0 • 10=10N=2x1=1 - 1.1 • 0.1 - 10 • (-0.1)=1.89x2=1.1 - 1 • 0.1 - 10 • (-0.1)=2x3=10 - 1 • (-1) - 1.1 • 10=0N=3x1=1 - 2 • 0.1 - 0 • (-0.1)=0.8x2=1.1 - 1.89 • 0.1 - 0 • (-0.1)=0.911x3=10 - 1.89 • (-1) - 2 • 10=-8.11Остальные расчеты представлены в таблице.Nx1x2x3e1e2e30000111.11011.11021.89200.890.9-1030.80.911-8.11-1.09-1.0898.1140.09790.2091.69-0.702-0.702-6.4251.1481.2598.0081.051.056.31861.6751.786-1.4440.5270.527-6.56470.6770.788-6.185-0.998-0.9984.74180.3030.4142.796-0.374-0.374-3.38991.2381.3496.1650.9360.9363.369101.4821.593-2.2550.2430.243-3.91110.6150.726-4.445-0.866-0.8662.19120.4830.5943.352-0.132-0.132-1.093131.2761.3874.5430.7930.7931.191141.3161.427-2.5930.03980.0398-1.95150.5980.709-2.952-0.718-0.7180.359160.6340.7453.5070.03590.03590.555171.2761.3873.1840.6420.642-0.323181.181.291-2.597-0.0965-0.0965-0.587190.6110.722-1.728-0.568-0.568-0.869200.7550.8663.3880.1440.1441.66211.2521.3632.0940.4970.497-1.294221.0731.184-2.38-0.179-0.1790.286230.6440.755-0.769-0.43-0.43-1.612240.8480.9593.0970.2040.2042.328251.2141.3251.260.3660.366-1.837260.9941.105-2.036-0.22-0.220.776270.6860.797-0.0527-0.308-0.308-1.983280.9151.0262.7150.2290.2292.662291.1691.280.6540.2540.254-2.061300.9371.048-1.631-0.232-0.2320.977310.7320.8430.453-0.205-0.205-1.179320.9611.0722.3010.2290.2291.848331.1231.2340.240.1620.162-2.06340.9011.012-1.217-0.222-0.2220.976350.7770.8880.783-0.123-0.123-0.434360.9891.1011.8950.2120.2121.111371.0791.191-0.01650.08990.0899-1.878380.8790.99-0.826-0.2-0.20.809ЗаключениеИтерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью любого прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств. В приведенном примерах были исследованы две системы. Одна из них позволила успешно применить явный итерационный метод Чебышёва: итерационный процесс был сходящимся. Для второй системы итерационный метод Чебышёва оказался расходящимся, и для ее решения был использован метод простой итерации. Он показал сходимость. Однако его вычислительная эффективность оказалась ниже в сравнении с методом Чебышёва и потребовала большее количество итераций. Однако итерационный процесс сошелся.Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует.Оптимальным же является комплексное применение методов решения СЛАУ, т.е. получение приближенного решения с помощью прямого метода и последующего уточнения решения с помощью итерационных методов.ЛитератураВержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов/В.М.Вержбицкий.-Мю:Высшая школа,2002.-840 с.Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304с.Бояршинов М.Г. Численные методы. Часть1: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика». – Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 1998. – 176с.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. Для Вузов. – 5-3 изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320с.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. – М.:Наука. Гл.ред физ.-мат. Лит-ры, 1989. – 432с.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит-ры, 1978. – 512с.Масловская Л.В., Масловская О.М. Численные методы: Учеб.пособие – Одесса, Укрполиграф, 2006. – 146с.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1часть. -5 изд. – М,:Айрис-пресс, 2005. – 288с.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. 3-е изд., стер. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002— 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. IV)
2. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.
3. Бояршинов М.Г. Численные методы. Часть 1: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика». – Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 1998. – 176 с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. Для Вузов. – 5-3 изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. Лит-ры, 1989. – 432 с.
6. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит-ры, 1978. – 512с.
7. Масловская Л.В., Масловская О.М. Численные методы: Учеб.пособие – Одесса, Укрполиграф, 2006. – 146 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1часть. -5 изд. – М,: Айрис-пресс, 2005. – 288 с.
9. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. 3-е изд., стер. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 — 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. IV)
Вопрос-ответ:
Какой метод используется для решения СЛАУ?
В статье рассматривается явный итерационный метод Чебышева.
Какие основные определения связанные с методом Чебышева приведены в статье?
В статье представлены определения метода П.Л. Чебышева, метода простой итерации и итерационного метода Чебышева.
В каких случаях можно применить итерационный метод Чебышева?
Итерационный метод Чебышева может быть использован для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Как решить СЛАУ методом простой итерации?
Для решения СЛАУ методом простой итерации необходимо использовать формулу x(k+1) = b + Ax(k), где x(k) - приближенное решение на k-ой итерации.
Как переставить строки исходной системы для применения метода Чебышева?
Для применения метода Чебышева необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
Какой метод используется для решения СЛАУ?
Для решения СЛАУ в статье применяется явный итерационный метод Чебышева.
Что такое метод Чебышева?
Метод Чебышева - это итерационный метод, используемый для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Какие условия необходимы для применения метода Чебышева?
Для применения метода Чебышева необходимо, чтобы на диагонали матрицы системы стояли наибольшие по модулю коэффициенты.
Как происходит применение итерационного метода Чебышева?
Применение итерационного метода Чебышева осуществляется путем последовательного вычисления приближенных значений неизвестного вектора x.
Как решить СЛАУ методом простой итерации?
Для решения СЛАУ методом простой итерации необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы, а затем вычислить значения приближенного решения xk.