ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Имеются таблицы значений функции Ф(x) для значений x: 0≤.x≤ 5. Для значений x>5 полагают Ф(x) = 0,5. Для отрицательных значений используют свойство нечетности функции Лапласа: Ф(-x) = - Ф(x).Для выборки B при a ≈ = 7,19, σ ≈ S = 2,03 формула (1) примет вид:p(iXi) = Ф. (2)Вычисления теоретических вероятностей удобно разместить в виде расчетной таблице (табл. 5), понимая в ней под xi концы рассматриваемых промежутков. Таблица 5. ixi1-0,522,87-2,13- 0,48340,0166}0,082334,37-1,39- 0,41770,065745,87-0,65- 0,24220,175557,370,09 0,03590,278168,870,830,29670,2608710,371,570,44180,1451811,872,310,48950,0477}0,0582912,622,670,49620,0067100,50,0038Σ---1С целью уменьшения объёма вычислений в таблице 5 в начале и конце её объединяются интервалы, которым соответствуют малые (<0,1) вероятности. В соответствии с этими преобразованиями объединяются интервалы (табл. 6) и суммируются относительные частоты из таблицы 2. Таблица 6.i12345I(- ; 5,87)[5,87;7,37)[7,37;8,87)[8,87;10,37)[10,37;(+ )wi0,130,240,330,180,12pi0,08230,17550,27810,26080,2033Сравнение значений относительных частот wi и теоретических вероятностей pi, показывает, что они незначительно отличаются: pi ≈ wi.Для проверки гипотезы о нормальном распределении H0 генеральной совокупности (о согласовании статистического и теоретического распределений) вычисляют статистику: χ2набл = .Для удобства составляется таблица (табл. 7).Таблица 7.piwipi - wi(pi - wi)2(pi - wi)2/pi0,130,08230,04770,00230,01750,240,17550,06450,00420,01730,330,27810,05190,00270,00820,180,2608-0,08080,00650,03630,120,2033-0,08330,00690,05781---0,1371Находим χ2набл = 100∙0,1371= 13,71.Нормальный закон распределения зависит от двух параметров a и σ, поэтому r = 2. Для выборки B число интервалов l= 5. Число степеней свободы распределения Пирсона k = l – r – 1 = 5–2–1 = 2.Из таблицы (прил. 3) распределения Пирсона при и уровне значимости α = 0,05 находим χ2кр = 5,99.В результате сравнения значений χ2набл = 13,71и χ2кр = 5,99, видно, что . χ2набл> χ2кр. Это дает основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности или сделать вывод о том, что при уровне значимости α = 0,05теоретические исследования противоречат опытным данным. Уровень значимости α = 0,05означает, что лишь в пяти случаях из 100 имеется риск отвергнуть правильную гипотезу.Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с доверительной вероятностью γ , имеет вид:,где – выборочная средняя, S – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, tλ – величина, определяемая из таблицы (прил. 4) по доверительной вероятности γ и объему выборки n. Для выборки Bимеем: = 7,19,S =2,03, n = 100, γ = 0,95(т.к. α=0,05, α= 1–γ), tλ = 1,984.Тогда = ≈ 1,43, следовательно, доверительный интервал (7,19 –2,03; 7,19 +2,03) или (5,16; 9,22).Таким образом, с надёжностью (доверительной вероятностью) можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале5,16a 9,22.ЗАДАНИЕ 342. а) Что называется объектом наблюдения и единицей наблюдения? б) В чем сущность типического способа отбора единиц наблюдения в выборочную совокупность? в) Что называют мощностью статистического критерия? Ответы:а) Объект наблюдения - статистическая совокупность, в которой протекают исследуемые явления и процессы.Единица наблюдения - составной элемент объекта, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации.б) Типическая выборка- отбор в соответствии с принятой схемой (собственно-случайной или механической (последний также носит название типический отбор с механической выборкой или механический отбор с предварительным районированием), который производится из генеральной совокупности, предварительно разделенной на типы (однородные группы).Способ проведения типической выборки:1.вся совокупность делится на типические группы2.из каждой типической группы отбирается некоторое количество единиц.Репрезентативность типической выборки обеспечивается расчленением генеральной совокупности на качественно однородные группы, что обусловливает представительство в выборке каждой типологической группы.в) Мощностьстатистическогокритерия– этовероятность,скоторойстатистическийкритерий,предназначенныйдляпроверкипростойгипотезыH0противсложнойальтернативыH1,отклоняетH0,когдавдействительностивернагипотезаH1.ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/И.И. Баврин. − М.: Высш. шк., 2005. − 160 с. Боровков А.А. Математическая статистика. − Новосибирск: Наука; Издательство ин-ститута математики, 1997. − 772 с. Боровков А.А. Математическая статистика. − Учебник. − М.: Наука. Главная редакция физико-математическрй литературы, 1984. − 472 с. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. − 2-е изд. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. − 296 с. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL.: учебное пособие. − 2-е изд., испр. и доп. − М.: ФОРУМ, 2008. − 464 с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.пособие для студентов вузов/В.Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2004. − 404 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов/В.Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2003. − 479 с.