Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Доказательство.Из сходимости ряда из модулей (21) следует сходимость ряда без модулей. Тогда.Частичная сумма этого ряда,следовательно,.Это означает, что последовательность сходится к пределу .Утверждение доказано.Теорема 7 (первый признак Абеля).Если ряд (22)обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а представляет собой последовательность с ограниченным изменением, сходящуюся к нулю, то ряд(23)сходится.Доказательство.По условию существует число такое, что последовательность частичных сумм ряда (22) удовлетворяет условию .Воспользуемся сходимостью к нулю последовательности и сходимостью ряда (21). Зафиксируем произвольное число и по нему номер такой, что прии для любого справедливы неравенства(24)(25)Воспользуемся преобразованием Абеля (19) и свойством модуля суммыПоскольку для всех справедливо неравенство , тоВ силу соотношений (24) и (25):.Это означает, что по критерию Коши ряд (23) сходится. Теорема доказана.Следствие (признак Дирихле-Абеля).Если ряд (22) обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а представляет собой невозрастающую последовательность, сходящуюся к нулю, то ряд (23) сходится.Теорема 8 (второй признак Абеля).Если ряд (22) сходится, а представляет собой произвольную последовательность с ограниченным изменением, то ряд(23)сходится.Доказательство.Поскольку ряд (22) сходится, то он обладает последовательностью частичных сумм . Значит, существует число такое, что последовательность частичных сумм для всех Обозначимсумму ряда и предел последовательности соответственно и . Тогда можно утверждать, что каждое из произведений и сходится к при . Поэтому каждая из последовательностейи является бесконечно малой.Воспользуемся этим и сходимость ряда (21). Зафиксируем произвольное число и по нему номер такой, что прии для любого справедливы неравенства(26)(27)Поскольку для всех справедливо неравенство , тов силу соотношений (26) и (27) преобразование Абеля (19) перепишем в виде:Это означает, что по критерию Коши ряд (23) сходится. Теорема доказана.Пример 8.Исследуем на сходимость ряд [3]:Перепишем в другом виде:Исследуем ряд – данный ряд является знакочередующимся.– члены ряда монотонно убывают по модулюУбывание монотонно, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:Таким образом, ряд сходится.Последовательность убывает и сходится к нулю.По признаку Дирихле-Абеля исходный ряд сходится.Абсолютная сходимость двойных рядовДвойной ряд [2, 6](28)называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд(29)Пример 9.Рассмотрим двойной ряд, заданный матрицей [1]:Для этого ряда сумма . Следовательно, он сходится к 1, но множество его членов неограниченно. В силу сходимости двойного ряда имеем, что . Таким образом, для множества чисел, занумерованных двумя индексами, существование предела не влечет ограниченности этого множества, в отличие от одноиндексного случая.Рассмотрим ряд, составленный из модулей:Предел частичной суммы.Таким образом, ряд абсолютно не сходится.Теорема 9.Абсолютно сходящийся ряд (28) сходится, т.е. имеется некоторую сумму . Кроме того, для него существуют сумма по строкам и сумма по столбцам и все эти три суммы равны [2]:.(30)Теорема 10.Пусть дан двойной ряд (28). Составим каким-либо образом простой ряд , состоящий из тех же членов. Тогда абсолютная сходимость одного из этих рядов влечет за собой абсолютную сходимость другого и равенство их сумм [1].ЗаключениеВ ходе работы был изучен материал по абсолютной и условной сходимости рядов. В основном использовались учебные пособия по математическому анализу, соответствующие разделы.Даны определения абсолютно и условно сходящихся рядов.Для абсолютно сходящихся рядов сформулированы и доказаны основные свойства, приведены примеры.Для условно сходящихся рядов замечено невыполнение переместительного свойства. Сформулирована и доказана соответствующая теорема.Рассмотрен случай знакочередующегося ряда, сформулирован признак Лейбница, решены задачи, иллюстрирующие разный характер сходимостиПриведено преобразование Абеля, которое помогает доказать признаки сходимости произвольных рядов. В качестве примера исследован ряд с использованием признака сходимости Дирихле-Абеля.Даны краткие сведения об абсолютно сходящихся двойных рядах, показана связь их сходимости со сходимостью простых рядов. Теоремы приведены без доказательства.В процессе работы были расширены знания по данной теме, получены навыки применения теоретических сведений для решения практических задач.ЛитератураВиноградова И.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды): Учеб.пособие / И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. – М.:Изд-во Факториал, 1996. – 477с.Воробьев Н.Н. Теория рядов. –М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1979. – 408с.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. – М.:Изд-воМоск. ун-та, ЧеРо, 1997. – 624с.Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. – М.:ФАЗИС, 1997. – 554с.Ильин В.А. Математический анализ. Продолжение курса / В.А.Ильин, В.Ф.Садовничий, Бл.Х.Сендов; под ред. А.Н.Тихонова. – М.: Изд-во МГУ,1987. – 358с.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2. – М.: Дрофа, – 2004. Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1983. – 464с.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том II. – М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1968. – 464с.