Приложение теории рядов к вычислению интегралов

Такие интегралы имеют название «неберущиеся», и вычисление удобно производить с помощью рядов.В этой главе приведем основные примеры «неберущихся» интегралов и способы их вычисления. Пример 1.Вычислить интегралРешение:Подынтегральная функция  не является элементарной функцией.Поэтому для вычисления интеграла от этой функции воспользуемся стандартным разложением функции , при этом, заменяя в разложении  x на :Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до a, получимЗадавая любые значения а, вычисляем данный интеграл с любой степенью точности.Пример 2.Вычислить приближенно определенный интеграл, с точностью до 0,001Решение:Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем табличное разложение:Заменим на Получаем Подставляем в интеграл полученный степенной ряд:Применяем формулу Ньютона-Лейбница Так как сходящийся ряд знакочередующийся, тополучения ответа достаточно первых двух членов, а именно 0,3-0,018.При заданной точности 0,001 абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит уже третьего члена ряда.Ответ: с точностью до 0,001Пример 3.Вычислить интеграл.Решение:Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя стандартное разложение элементарной функции sinxЗатем делим наxи получаемПричем последний ряд сходится при любых значениях x. Переходим к интегрированию, получаемСумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом a.Пример 4.Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням x, с точностью до 0,001Решение:Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя биномиальное разложение функции Заменим на , получаемТаким образом: Ответ: с точностью до 0,001Пример 5.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя стандартное разложение функцииЗаменим на, получаемДомножим на , получимПереходим к вычислению интегралаОтвет: с точностью до 0,01.Пример 6.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 Решение:Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя стандартное разложение функции ДалееПереходим к вычислению интегралаОтвет:с точностью до 0,001.Пример 7.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 Решение:Разложим подынтегральную функцию, используя биномиальное разложение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду:Полученное преобразование не дает возможности использовать биномиальное разложение, поэтому воспользуемся следующей формулой:В нашей задаче имеем:Видим, что четвертый член рядаменьше заданной точности 0,001, соответственно он не потребуется для дальнейшего вычисления.При этом необходимо не следует забывать еще один множитель:Переходим к вычислению интеграла:Ответ: с точностью до 0,001.Пример 8. Вычислить эллиптический интегралРазложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, положив , .Этот ряд сходится при всех значениях и допускает почленное интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале. Поэтому Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При  имеемИ, следовательно, ЗаключениеВ данной работе рассмотрены основные применения рядов для приближенного вычисления определенных интегралов, которые имеют широкоеприменение в реальной жизни. Из вышесказанного видно, что ряды тесно связаны со всеми разделами математики и другими науками. Ряды очень полезны в решении задач, которые обычными методами сложно или невозможно решить. Применение рядов встречается в таких сферах как: экономика, физика и других.Подведем итоги проделанной работы.Во введении обоснована актуальность выбранной темы курсовой работы, определены цели и задачи исследования.В первой главе курсовой работы рассмотрены теоретические аспекты теории рядов. А именно рассмотрено понятия о числовых рядах, степенных рядах, представлены основные свойства рядов и признаки их сходимости. Также представлены разложения элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена. Во второй главе курсовой работы рассмотрены основные способы вычисления определенных «неберущихся» интегралов. Приведены примеры вычисления таких интегралов.В заключении подведены итого исследования.Таким образом, поставленная цель и задачи исследования достигнуты в полном объеме.Список литературыАрефьев К. П. , Глазырина Е. Д., Ефремова О. Н., Столярова Г. П. Высшая математика. Ч. III.: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - 208 с.Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 436 с.Воробьев, Н.Н. Теория рядов./ Н.Н. Воробьев.– М.: Лань, 2002.– 416 с.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высшая школа, 1989.Высшая математика в упражнениях и задачах. Части I, II /П. К. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1980.Ефимов, А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа.[Текст]/ Б. П. Демидович. – М.: Наука,1981.Ефремова О. Н., Столярова Г. П., Некряч Е. Н. Высшая математика. Ч. II: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2007.  200 с.Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1972.Кошельская Г. А., Столярова Г. П., Харлова А. Н. Высшая математика. Часть IV. Ряды: учебное пособие. Томск. Изд. ТПУ, 2001.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М: Высшая школа, 1981. – 687 с.Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). [Текст]/ – М.: Высшая школа, 1983Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. – М.: Наука, 1973.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. / Н.С. Пискунов.– М.: Интеграл–пресс, 2009.– 544 c.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа./ Г.М. Фихтенгольц.– М.: Лань, 2005.– 464 с.Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2». [Текст]/ - М.: Наука, 1987