Равновеликие и равносоставленные многоугольники

Так как , то. Таким образом, образ прямой при повороте на относительно центра квадрата совпадает с прямой . Докажем, что прямая проходит через центр квадрата. Пусть прямая не проходит через центр квадрата.Рассмотрим образы прямых при повороте на , обозначив площади частей, как представлено на рисунке 21.Рисунок 21 – Варианты расположения прямыхСогласно построениям прямые делят квадрат на четыре части, для которых площади равныПри этом числа a, b и c ненулевые. Но три из четырехуказанных чисел не могут быть равны. Получено противоречие. Задача 10.Параллелограммы АВСD и , у которых стороны АD и лежат на одной прямой, равновелики (рисунок 22).Рисунок 22 – Параллелограммы АВСD и Трапеция АВСD есть, с одной стороны, объединение треугольника АВА и параллелограмма , с другой стороны, объединение треугольника DCDи параллелограмма АВСD. Поскольку треугольники АВА и DCD1 равны, то площади параллелограммов АВСD и равны, т. е. они равновелики.Задача 11.Дан параллелограмм АВСD. Рассмотрим новый параллелограмм, у которого одна вершина совпадает с вершиной В, соседняя с ней вершина М лежит на стороне АD, а сторона КL, противоположная ВМ, лежит на прямой, проходящей через вершину С (рисунок 23). Докажите, что параллелограммы АВСD и ВКLM равновелики.Рисунок 23 – Исходные данные и результаты построенийСогласно задаче 10 можно считать, что сторона КL содержит точку С. Треугольник ВСМ – общий для обоих параллелограммов, и .Задача 12.Каждая сторона треугольника АВС продолжена на свою длину так, что точка В – середина отрезка , С – середина , точка А – середина (рисунок 24). Площадь треугольника АВС равна S. Найти площадь треугольника .Рисунок 24Проведем отрезки и . СВ – медиана треугольника , поэтому . медиана треугольника , поэтому . Рассуждая аналогично, получаем, что , , , .Следовательно, /Задача 13.Пусть диагонали трапеции АВСD (АD || ВС) пересекаются в точке О. Докажите что тогда треугольники АОВ и DОС равновелики.Проведем через точку В прямую, параллельную АС, а через точку С – прямую, параллельную ВD (рисунок 25).Рисунок 25Точки пересечения этих прямых с прямой АD обозначим соответственно и . Параллелограммы и равновелики, значит, равновелики их «половинки» – треугольники АВС и DСВ. «Выбрасывая» из этих треугольников один и тот же треугольник ВОС, убеждаемся, что треугольники АОВ и DОС также равновелики; другими словами, .Задача 14.Через произвольную точку на стороне треугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части.Пусть Р – точка на стороне АC треугольника АВС, М – середина АС. Если Р совпадает с М, то ВМ – искомая прямая. Рассмотрим случай, когда Р лежит между точками М и С (если Р лежит на отрезке АМ, рассуждения аналогичны). Тогда площадь треугольника АРВ больше половины площади треугольника АВС.Если вращать прямую РN вокруг точки Р (точка N скользит по отрезку АВ), площадь треугольника АРN будет убывать. В начале движения. Когда точка N совпадала с В, эта площадь была больше , в конце, при N = А, эта площадь станет равной нулю (треугольник вырождается). По принципу непрерывности должен наступить момент, когда эта площадь равна .На основе предыдущей задачи можно доказать, что это произойдет, когда четырехугольник ВРМN превратится в трапецию (рисунок 22). Действительно, поскольку (О – точка пересечения диагоналей трапеции)Задача 15.Через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части.Рисунок 26Проведем эту прямую через вершину А четырехугольника АВСD. Если диагональ Ас делит площадь АВСD пополам, задача решена. Пусть О – точка пересечения диагоналей АВСD, М – середина ВD. Ломаная АМС делит четырехугольник на равновеликие части. Допустим. Что точка М лежит на отрезке ОD (рисунок 25). Проведем через точку М прямую, параллельную АС, К – точка пересечения этой прямой со стороной С. Тогда Задача 16.Через точку на стороне выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части.Пусть М – данная точка на стороне АD четырехугольника АВСD. Проведем через точки В и С прямые, которые делят площадь четырехугольника пополам.Рассмотрим сначала случай, когда эти прямые пересекают сторону АD точках и соответственно (рисунок 27). Пусть точка М лежит на отрезке . Если точка М совпадает с точкой , то искомая прямая. Если М не совпадает с точкой , то можно провести прямую , параллельную прямой СМ ( К – точка на стороне СD), и (О – точка пересечения диагоналей трапеции ).Если точка М лежит на отрезке , то проведем прямую параллельно ВМ, и искомой прямой будет прямая МК (рисунок 27).Рисунок 27В случае, когда точка М лежит на отрезке , можно проводить прямую параллельно МС, и прямую параллельно МВ; оба построения приводят к одной и той же точке К.Описанный прием построения подходит и в случае, когда только одна из прямых, проходящих через точки В и С и делящих четырехугольник АВСD на две равновеликие части, пересекает сторону АD (рисунок 28).Рисунок 28И, наконец, рассмотрим случай, когда ни одна из этих прямых не пересекает сторону АD четырехугольника АВСD(рисунок 28). В этой ситуации проведем через вершину А прямую , которая делит четырехугольник на две равновеликие части. Прямая АК, параллельная , пересекает сторону ВС в точке К. МК – искомая прямая.ЗаключениеВ рамках настоящего исследования в соответствии с целью и задачами сформирован теоретический аппаратисследования равновеликих и равносоставленных многоугольников, подробно изучены леммы, которые используются для доказательства теоремы Бояи – Гервина.Теорема Бояи – Гервина однозначно определяет, что равновеликость фигур в стереометрии можно доказывать только с помощью метода разложения и метода дополненияНа основе указанных теоретических аспектов реализовано решение практических задач на доказательство равновеликости и равносоставленности многоугольников, на построение с учетом особенностей указанной группы многоугольников.Список использованной литературыБолтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры // Популярные лекции по математики №22.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956 г. - с. 64.Вавилов В.В., Красников П.М. Математические коллоквиумы. –М.: Школа им. А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии // Учебное пособие №5. М.: МЦНМО 2006, 610 с.