Индукция в геометрии

Доказать, что любой красивый n-угольник можно разрезать не пересекающимися диагоналями на «красивые» треугольники.
Решение: Воспользуемся методом математической индукции.
1. При наименьшем из возможных n=3 утверждение задачи очевидно: вершины «красивого» треугольника окрашены в три разных цвета и никакие разрезы не нужны.
2. Допустим, что утверждение задачи верно для любого «красивого» n-угольника.
3. Рассмотрим произвольный «красивый» (n+1)-угольник и докажем, используя предположение индукции, что его можно разрезать некоторыми диагоналями на «красивые» треугольники. Обозначим через последовательные вершины (n+1)-угольника. Если в какой-либо из трёх цветов окрашена лишь одна вершина (n+1)-угольника, то, соединив эту вершину диагоналями со всеми не соседними с ней вершинами, получим необходимое разбиение (n+1)-угольника на «красивые» треугольники.
Если в каждый из трёх цветов окрашены не менее двух вершин (n+1)-угольника, то обозначим цифрой 1 цвет вершины , а цифрой 2 цвет вершины . Пусть k – такой наименьший номер, что вершина окрашена в третий цвет. Понятно, что k> 2. Отсечём от (n+1)-угольника диагональю –2 треугольник –2–1. В соответствии с выбором числа k все вершины этого треугольника окрашены в три разных цвета, то есть этот треугольник «красивый». Выпуклый n-угольник … –2+1 … +1, который остался, также, в силу индуктивного предположения, будет «красивым», а, значит, разбивается на «красивые» треугольники, что и требовалось доказать.
Задача №7.
Доказать, что в выпукломn-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.
Решение: Проведём доказательство методом математической индукции.
Докажем более общее утверждение: в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n сторон и диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.
1. При n = 3 утверждение очевидно.
2. Допустим, что это утверждение верно для произвольногоn-угольника.
3. Докажем его справедливость для произвольного (n+1)-угольника.
Используем метод от противного. Допустим, что для (n+1)-угольника это утверждение неверно. Если из каждой вершины (n+1)-угольника выходит не больше двух выбранных сторон или диагоналей, то всего их выбрано не больше чем n+1. Поэтому из некоторой вершины А выходит хотя бы три выбранных стороны или диагонали AB, AC, AD. Пусть АС лежит между АВ и AD. Поскольку любая сторона или диагональ, которая выходит из точки С и отличная от СА, не может одновременно пересекать АВ и AD, то из точки С выходит только одна выбранная диагональ СА.
Отбросив точку С вместе с диагональю СА, получим выпуклый n-угольник, в котором выбрано больше n сторон и диагоналей, любые две из которых имеют общую точку. Таким образом, приходим к противоречию с предположением, что утверждение верно для произвольного выпуклого n-угольника.
Итак, для (n+1)-угольника утверждение верно. В соответствии с принципом математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.
Таким образом, можно подвести следующий итог по второй главе.
1. Для того чтобы решать задачи повышенной сложности с помощью метода математической индукции необходимо понимать принцип математической индукции, а также знать порядок доказательства и решения задач, с помощью данного метода.
2. С помощью метода математической индукции можно решать задачи разного типа: начиная с задач на делимость, и заканчивая геометрическими задачами.
3. Знания о данном методе решения задач повышенной сложности существенно упрощает их и сокращает время, которое ученики затрачивают на решение.
4. Данные знания необходимы ученикам, но из-за нехватки часов в школьной программе этот материал остается плохо изученным

Заключение

Таким образом, в заключении следует сделать вывод по рассмотренной теме.
Индукция как метод научного познания - это переход в процессе познания к общему знанию от частного; от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности. Иначе говоря, – это метод познания, исследования, который связан с обобщением результатов экспериментов и наблюдений.
Базисом индукции являются наблюдение, эксперимент и опыт, в ходе которых собираются отдельные факты. Потом, исследуя данные факты, их анализируя, исследователь устанавливает повторяющиеся и общие черты ряда явлений, которые входят в некоторый класс. На данной основе он выстраивает индуктивное умозаключение, посылками которого могут выступать суждения о единичных явлениях и объектах с указанием повторяющегося их признака, и суждение о классе, который включает данные явления и объекты. В качестве вывода получают суждение, в котором признак, который был выявлен у совокупности единичных объектов, приписывают всему классу.
Главной функцией индукции в процессе познания является получение общих суждений, в качестве которых выступать могут теоретические и эмпирические законы, обобщения, гипотезы. Посредством индукции раскрывается «механизм» появления общего знания.
Характерной чертой индукции выступает ее вероятностный характер, иными словами при истинности исходных посылок заключение индукции лишь вероятно истинно и в конечном итоге оказаться может как истинным, так и ложным. Таким образом, индукцией не гарантируется достижение истины, а она только на нее «наводит», иными словами способствует поиску истины.
Перед началом исследования был задан вопрос: можно ли с помощью метода математической индукции решить задачи повышенной сложности, не затратив на это много времени и получив при этом верный результат?
Индукция — это один из приёмов исследования, благодаря которому, знания отдельных фактов приводят к общим положениям.
Метод математической индукции – это метод, основанный на принципе математической индукции. В поисках единого общего закона он позволяет нам исследовать гипотезы: утверждать или отбрасывать. Метод математической индукции при решении многих типов задач: на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.
В проведенной работе гипотеза о том что, метод математической индукции – это наиболее эффективный и верный способ решения задач повышенной сложности, нашла свое подтверждение.
Литература

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Кузнецов И. Н. Методика научного исследования: учебное пособие для магистрантов и аспирантов / И. Н. Кузнецов. — Минск: БГУ, 2012. — 248 с.
Маркова Е. С. Методология и методы научных исследований : учебно-практическое пособие. — Липецк: ЛЭГИ, 2013. — 96 с.
Новиков А.М. Методология научного исследования : учебное пособие / А. М. Новиков, Д. А. Новиков. — Изд. 2-е. — М : URSS, 2012. — 270 с.
Основы научной работы и методология исследования / Г. И. Андреев, В. В. Барвиненко, В. С. Верба и др.. — М : Финансы и статистика, 2012. — 294 с.
Пещеров Г.И. Методика научного исследования : учебное пособие / Г. И. Пещеров. — М : Изд-во МГОУ, 2013. — 142 с.
Садохин А. П. Методология: учеб. пособие / А.П.Садохин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Альфа-М; ИНФРА-М, 2014. - 352 с.
Скалепов А.Н. Основы научного исследования: учебное пособие / А. Н. Скалепов. — М : ЮИ МИИТа, 2012. — 207 с.
Тихонов В. А. Научные исследования: концептуальные, теоретические и практические аспекты / В. А. Тихонов, В. А. Ворона. — 2-е изд., стер. — М : Горячая линия - Телеком, 2013. — 296 с.
Чулков В.А. Методология научных исследований : учебное пособие / В. А. Чулков. — Пенза : ПензГТУ, 2014. — 199 с.















1


8

3


3