Модели организации и планирования производства

На изготовление этих двух видов продукции требуется три вида сырья . Запасы каждого вида сырья ограничены и составляют соответственно условных массовых единиц. При принятой технологии количество сырья , необходимое для производства единицы продукции , известно.Требуется составить такой план выпуска продукции и , при котором суммарная прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной.СырьеПродукцияЗапасы сырья483012918481681230123Прибыль120240Требуется:1. Составить математическую модель планирования производства, записав соответствующую задачу линейного программирования в стандартном виде. Указать смысл всех используемых обозначений и математических выражений.2. Записать задачу линейного программирования в каноническом виде.3. Найти графическим методом оптимальный план выпуска продукции.4. Решитьб задачу линейного программирования на компьютере с использованием программы MSExcel.Решение:1. Составим математическую модель задачи. Введем переменные:Пусть – объем производства продукции вида , ед.; – объем производства продукции вида , ед.Используя данные таблицы, определим затраты каждого вида ресурса для выпуска производственной программы :Затраты сырья :;Затраты сырья :;Затраты сырья :Задача состоит в нахождении такой допустимой производственной программы , которая обеспечивает получение наибольшей прибыли:Построенная математическая модель задачи представляет собой задачу линейного программирования, так как ограничения заданы в виде линейных неравенств, а оптимизируемый показатель (прибыль) выражается с помощью линейной функции.Таким образом, математическая модель данной задачи выглядит следующим образом:Целевая функция прибыли:2. Запишем задачу линейного программирования в каноническом виде. Систему ограничений, состоящую из неравенств, сводим к каноническому виду, который представляет из себя систему уравнений ( – дополнительные неотрицательные переменные):Математическая модель задачи в каноническом виде:Целевая функция прибыли:3. Решение задачи линейного программирования графическим методомПервым шагом в графическом методе решения является построение множества допустимых решений (МДР), для его построения необходимо построить граничные прямые, уравнения которых получаются из неравенств при замене знака «» на «=».Граничные прямые можно построить по двум известным точкам:Прямая (1): 02,694,30Прямая (2): 06,673,51Прямая (3): 06,54,11,5На рис. 9. показано МДР. МДР представляет собой четырехугольник OABC.Рис. 9Для нахождения точки максимума целевой функции нужно построить градиент целевой функцииР, он равен: . Из начала координат в направлении к точке с координатами проводим вектор – по направлению он совпадает с градиентом и показывает направление возрастания функции. Перпендикулярно градиенту проводим некоторую прямую, которая будет являться линией уровня целевой функции Р.Двигая линию уровня параллельной самой себе, можно найти точку максимума, ей будет являться точка – самая последняя точка МДР, с которой пересечется линия уровня. В нашей задаче точкой максимума является точка В, которая лежит на пересечении линий (1) и (2). Её координаты можно найти, решив систему уравнений:Тогда максимальное значение целевой функции: ден. ед.Таким образом, для получения максимальной прибыли нужно выпустить 0,65 ед. продукции вида и 3,26 ед. продукции вида . При этом максимальная прибыль от реализации продукции составит тыс. руб.4. Решим задачу с использованием MSExcel. Для решения воспользуемся встроенной надстройкой «Поиск решения». Для решения рассмотренной задачи в среде Excel заполним ячейки исходными данными в виде таблицы (рис. 10), и формулами математической модели (рис. 11).Решим задачу с помощью команды меню Данные Поиск решения. В диалоговом окне Поиск решения вводим следующие данные:Целевая ячейка – ячейка, в которой рассчитана общая стоимость произведенной продукции.Значение целевой ячейки – максимальное (поставить флажок).Ограничения – ссылки на ячейки, содержащие вычисленные значения используемых ресурсов.Результаты вычислений представлены в таблице (рис. 12).Рис. 10Рис. 11Таким образом, для получения максимальной прибыли нужно выпустить 0,65 ед. продукции вида и 3,26 ед. продукции вида . При этом максимальная прибыль от реализации продукции составит тыс. руб.Результаты решения симплекс-методом и с использованием встроенной надстройки MSExcelсовпадают.Рис 12