Метод областей при решении уравнений и неравенств с параметром

решениеРассмотрим две функцииf(x)=иg(x)=Графикf(x)=- полукруг в положительной плоскости с радиусом 1;графикg(x)=- прямая:k =1,движущегося вдоль осей координат.Решениями неравенства будут абсциссы тех точек полукруга, которые лежат ниже прямой.Построим графики функций.Очевидно, что приa≤-1прямая не пересекает полукруг, значит неравенство решений не имеет.если, То прямая пересекает окружность в одной точке, поэтому решением неравенства будет один интервал.еслито прямая пересекает окружность в двух точках, решение неравенства - 2 интервала.Найдем координаты точек пересечения прямой с окружностью.Для этого решимуравнение:Прямая принимает положение касательной когда → Ответ:еслиеслиеслиеслиесли2)Найдите все значения параметраапри которых система имеет единственное решение.решениеПерепишем систему в виде:Рассмотрим систему координатXoa.Построим в этой системе графики функцийиРешением системы неравенств является заштрихованная часть графика.Система будет одно решение только приа = 0иа =1.Ответ: 0;1.3)Найдите все значения параметраапри каких множество решений системы является отрезок указанной длины.(L=1)решениеПерепишем систему в виде: → Рассмотрим систему координатXoa.Построим в этой системе графики функцийиМожет быть дваслучая, когда решением системы является отрезок длиной 1. Найдем при котором значению параметра это происходит.1случай.Найдем корни уравнения:Искомый случай будет при условии:2случай.Найдем корни уравнения:Выберем меньше корень:Искомый случай будет при условии:Ответ: 1,.5) Решите неравенство для всех действительных значений параметраа.решениеРассмотрим две функциии.Построим их графики в одной системе координат.Рассмотрим следующие случаи:1. Если то 2.Еслитографик имеетвид:Прямая () всегда будет проходить ниже графика. Поэтому решениями неравенства будет область определения функции. То естьесли a> 0, то x∈ (-∞; ┤ ├ -a] ∪ [0; ┤ ├ + ∞)Если a> 0, то график выглядит так:Так как угловые коэффициенты прямой и асимптоты одинаковые, прямая будет пересекать график в одной точке. Найдем х1.То естьеслиОтвет:если то если;еслиЗАКЛЮЧЕНИЕВыбирая метод решения задач с параметрами следует учитывать сложность равносильных преобразований и построения графиков. Графический метод рационально применять, когда нужно определить не сами корни , а их количество . Или когда в левой части произведение выражений с переменной, а правая равна 0, или слева функция без параметра, а правая равна параметру . Этот метод иллюстрирует процесс решения задачи с параметром, но иногда построить график значительно сложнее чем применить один из аналитических методов.Основными методами решения уравнений с параметрами являются аналитические и графические, в частности, метод областей. При этом, как правило, последним этапом в решения уравнений с параметром является применение метода «ветвления»Решение уравнений с параметрами требует знания свойств функций и уравнений, их графиков функций и преобразований над ними, умения, выполнять алгебраические преобразования высокой логической культуры, техники исследований, прочных знаний теоретического материала, умение объединять в единое целое знания из нескольких разделов математики .Можно сделать выводы, что решать иррациональные уравнения с параметром первого и четвертого типов лучше методом «ветвления», так как необходимо найти все значения переменной при каждом возможном значении параметра (или значений параметра с заданного промежутка), или когда множество решений удовлетворяет заданным условиям. Но этот метод иногда длинный и сложный, поэтому сначала надо определить можно применить к данному уравнения функциональный подход, что значительно упрощает решение.Уравнения второго и третьего типов значительно проще решаются графическим методом, поскольку следует определить только количество корней в зависимости от значений параметра или наоборот значение параметра, при которых уравнение удовлетворяет заданное количество решений. Из построения графиков наглядно видно, когда выполняется заданное условие.Иногда встречаются такие уравнения, длярешения которых следует применять один а несколько методов.Преимущества графического метода:-наглядность, более простое решениевопрос о количестве корней уравнения с параметром;-использование ИКТ во время решения графическим способом позволяет строить графики функций не используя исследования функции методами математического анализа.Недостатки графического метода:-приближенные значения точек пересечения графиков.Данную подборку примеров можно использовать для-формирования исследовательских умений школьников ;-подготовки учащихся к олимпиадам по математике ;-занятий факультативов и курсов по выбору;-на уроках математики при решении уравнений с параметрами;-подготовки выпускников и абитуриентов к успешной сдаче теста внешнего независимого оценивания.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВВышинский В.А., Перестюк Н.А., Самойленко А.М. Математика. - М.: Высшая школа, 1985. - 264 с.Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. Р озвья вания алгебраических задач. - М .: Просвещение, 1991. - 224с.Голавль А.А. Графический метод. // Математика в школах Украины. - 2010. №34-36. - с 20 -26.Горштейн П.Н., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - К . : Евроиндекс Л ТД , 1995. - 336с.Назаренко А.Н., Назаренко Л.Д. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. Пособие для абитуриентов. - С .: Слобожанщина, 1994. - 272 с.Осадчая Р.В. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами (9 класс) // Математика в школах Украины. - 2002. №10. - с. 18 -20.Нарядная Т.В. Уравнения с параметрами. Материалы для проведения летней учебной практики // Математика в школах Украины. 2002. №15. - с. 2-8.Ястребнецкий Г . А. Задачи с параметрами. - М .: Просвещение , 1986. - 128с.