Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.Ответ:.Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.Пример 5Вычислите предел.РешениеВыполняем подстановку.В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значенииx, равном единице, числитель и знаменатель обращаются в0, то мы можем разложить их на множители и потом сократить нах−1,и тогда неопределенность исчезнет.Выполняем разложение числителя на множители:, Теперь делаем то же самое со знаменателем:, Мы получили предел следующего вида:Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.Ответ:.Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше0, то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.Например,или.Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то приунас возникает неопределенность вида. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на. Приведем пример решения подобной задачи.Пример 6Вычислите предел.РешениеСтепени числителя и знаменателя равны7. Делим их наи получаем:Ответ:.Пример 7Вычислите предел.РешениеЧислитель имеет степень, а знаменатель2. Выполним деление числителя и знаменателя на:Ответ:.Пример 8Вычислите предел.РешениеУ нас есть числитель в степени3и знаменатель в степени. Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на:Ответ:.ВыводыВ случае с пределом отношений возможны три основных варианта:Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.Решение расчетных задач2.1Применение бесконечных функций к нахождению пределовДоказать эквивалентность бесконечно малых величини.РешениеНеобходимо вычислить предел отношения данных величин.При использовании одно свойства логарифмов, получаем, чтоЗапишем предел видаЛогарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, чтоНеобходимо произвести замену переменных. Имеем, чтоявляется бесконечно малой функцией с, тогда. Отсюда следует, что.Предел принимает видОтвет:.Получение1говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.Таблица эквивалентных бесконечно малыхнеобходимадля ускорения процесса вычисления.Пример 2Вычислить предел функции.РешениеПроизводится подстановка значенийПолученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функцияявляется эквивалентной, тогда имеем, чтоявляется эквивалентной.После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, чтоМожно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, чтоОтвет:.ЗаключениеВ ходе выполнения данной курсовой работы мы установил, что бесконечно малые функции – это функцияпри или при , если или, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Бесконечно малые функции имеют следующие функции:1. Если функциии являются бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.Эквивалентные функции – это бесконечно малые функциииназываемые также равносильными бесконечно малыми функциями одного.Таким образом, можно представить, что без употребления этих функций, символов и равенств будет не возможно решение многих задач, например, таких как нахождение пределов:Список использованных источниковД. Грин, Д. Кнут. Математические методы анализа алгоритмов. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1987.В.Н. Крупский. Введение в сложность вычислений. — М.: Факториал Пресс, 2006.Бугров, Никольский. Высшая математика, том 2.Зорич В.А.Математический анализ.ХелемскийA.Я. Лекции по функциональному анализу.-М.: МЦНМО, 2009.Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.Банах С.Теория линейных операций. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.Размещено