ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (МЕТОД ХОРД, МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)
Заказать уникальную курсовую работу- 2323 страницы
- 14 + 14 источников
- Добавлена 16.07.2019
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение 3
Глава 1. Теоретические сведения 5
1.1. Общие сведения о нелинейных уравнениях 5
1.2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений 6
1.3. Метод хорд 8
1.4. Метод касательных 10
ГЛАВА 2. Практическая реализация РАССМАТРИВАЕМЫХ методОВ 13
2.1. Реализация уточнения корней нелинейных уравнений методом хорд в табличном процессоре 13
2.2. Реализация уточнения корней нелинейных уравнений методом касательных в табличном процессоре 17
2.3. Задания для самостоятельного выполнения 20
Заключение 22
Список источников 23
Пример 3. Найти корень уравнения с точностью до .Выполним отделение корней графическим методом. Для этого выполним построение графиков функций:Результат построения графиков представлены на рисунке 7.Рисунок 7 – Графическое отделение корнейАнализ показывает, что отделены три корня на интервалах:Выполним уточнение корней методом хорд. Результат уточнения корня представлен на рисунке 8.Рисунок 8 - Результат уточнения корня Согласно результатам расчета приближенное значение корня .Выполним уточнение корня на интервале . Результаты представлены на рисунке 9.Рисунок 9 - Результат уточнения корня Согласно результатам расчета приближенное значение корня .Выполним уточнение корня на интервале . Результаты представлены на рисунке 10.Рисунок 10 - Результат уточнения корня Согласно результатам расчета приближенное значение корня .2.2. Реализация уточнения корней нелинейных уравнений методом касательных в табличном процессореРассмотрим применение метода касательных для нахождения корней нелинейного уравнения, из примера 1 п. 2.1 настоящей работы.Графический анализ показал, что для уравнения отделены три корня на интервалах:Выполним уточнение корней. Составим расчетную таблицу для уточнения первого корня уравнения (рисунок 11).Рисунок 11 – Уточнение Согласно результатам расчета .Выполним уточнение корня (рисунок 12).Рисунок 12 – Уточнение Согласно результатам расчета .Выполним уточнение корня(рисунок 13).Рисунок 13 – Уточнение Согласно результатам расчета .Таким образом, в процессе уточнения корней получены следующие результаты:Выполним уточнение корней уравнения из примера 3 п. 2.1 по методу касательных. По результатам графического отделения корней получено три корня на интервалах:Результаты уточнения корней методом касательных представлены на рисунке 14.Рисунок 14 –Результаты уточнения корней методом касательныхТаким образом, результаты, полученные методом хорд и методом касательных совпадают, но метод касательных обладает более высокой сходимостью.2.3. Задания для самостоятельного выполненияУточнить действительные корни уравнений с заданной точностью методом хорд и методом касательных:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ЗаключениеВ рамках настоящего исследования представлены теоретические основы решения нелинейных уравнений методом хорд и методом касательных, представлены алгоритмы и блок схемы указанных методов, а также их графическая интерпретация.В практической части работы представлено решение задач на отделение корней нелинейных уравнений графическим методом и их уточнение методом хорд и методом касательных в табличном процессоре.Список источниковЛитература:Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. – 640 с.Бахвалов Н.С., Корнев А.А., Чижонков В.Е.Численные методы. Решения задач и упражнения. Учебное пособие. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. – 352 с.Вабищевич П.Н. Численные методы. Вычислительный практикум. – М.: Ленанд, 2015. – 320 с.ЖидковВ.Н.Вычислительная математика. Учебник. – М.: Академия, 2013. – 208 с.Квасов Б.И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Scilab. Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2016. – 328 с.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2015. – 448 с.ПанюковаТ.А.Численные методы. – М.: Академия, 2013. – 224 с.ПоршневС.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad (+ CD). – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 456 с.РыжиковЮ.И. Вычислительные методы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 400 с.Интернет-источники:Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений. [Электронный ресурс]. URL. http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/WM/METOD/VINOGRADOVA/WEBUMK/frame/3.htm (дата обращения: 04.06.2019).Нелинейные уравнения с одним неизвестным. [Электронный ресурс]. URL. http://physics.herzen.spb.ru/library/01/01/nm_labs/nonlineareq.htm#_ftn2(дата обращения: 04.06.2019).Численное решение уравнений и систем уравнений А.А. Ханова. [Электронный ресурс]. URL. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/equation/nonlinear/nonlinear1.asp(дата обращения: 04.06.2019).Метод хорд. [Электронный ресурс]. URL: http://life-prog.ru/1_17661_metod-hord.html (дата обращения: 04.06.2019).Численные методы: решение нелинейных уравнений. [Электронный ресурс]. URL: htttp:// http://www.statistica.ru/branches-maths/chislennye-metody-resheniya-uravneniy// (дата обращения: 04.06.2019).
Литература:
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. – 640 с.
2. Бахвалов Н.С., Корнев А.А., Чижонков В.Е. Численные методы. Решения задач и упражнения. Учебное пособие. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. – 352 с.
3. Вабищевич П.Н. Численные методы. Вычислительный практикум. – М.: Ленанд, 2015. – 320 с.
4. Жидков В.Н. Вычислительная математика. Учебник. – М.: Академия, 2013. – 208 с.
5. Квасов Б.И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Scilab. Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2016. – 328 с.
6. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2015. – 448 с.
7. Панюкова Т.А. Численные методы. – М.: Академия, 2013. – 224 с.
8. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad (+ CD). – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 456 с.
9. Рыжиков Ю.И. Вычислительные методы. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 400 с.
Интернет-источники:
10. Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений. [Электронный ресурс]. URL. http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/WM/METOD/VINOGRADOVA/WEBUMK/frame/3.htm (дата обращения: 04.06.2019).
11. Нелинейные уравнения с одним неизвестным. [Электронный ресурс]. URL. http://physics.herzen.spb.ru/library/01/01/nm_labs/nonlineareq.htm#_ftn2(дата обращения: 04.06.2019).
12. Численное решение уравнений и систем уравнений А.А. Ханова. [Электронный ресурс]. URL. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/equation/nonlinear/nonlinear1.asp (дата обращения: 04.06.2019).
13. Метод хорд. [Электронный ресурс]. URL: http://life-prog.ru/1_17661_metod-hord.html (дата обращения: 04.06.2019).
14. Численные методы: решение нелинейных уравнений. [Электронный ресурс]. URL: htttp:// http://www.statistica.ru/branches-maths/chislennye-metody-resheniya-uravneniy// (дата обращения: 04.06.2019).
Вопрос-ответ:
Что такое нелинейное уравнение?
Нелинейное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное значение (или значения) связано с его функцией нелинейным образом. В отличие от линейного уравнения, нелинейное уравнение не может быть решено простыми алгебраическими методами, и для его решения требуются приближенные методы.
Какие методы используются для решения нелинейных уравнений?
Для решения нелинейных уравнений такие методы, как метод хорд и метод касательных, являются одними из самых распространенных приближенных методов. Они позволяют последовательно уточнять значения неизвестных переменных и находить приближенные корни уравнений.
В чем заключается метод хорд?
Метод хорд используется для решения нелинейных уравнений путем последовательной замены исходного уравнения линейными уравнениями, которые аппроксимируют его график. Для этого выбираются две начальные точки, а затем проводятся хорды через эти точки. Корень уравнения ищется как точка пересечения хорды с осью X.
Как работает метод касательных?
Метод касательных также называется методом Ньютона и использует идею линеаризации нелинейного уравнения. Он основан на использовании касательной к графику уравнения в точке приближенного значения корня. Затем находится точка пересечения касательной с осью X, и она становится новым приближением к корню уравнения. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность результата.
Как можно применить метод хорд и метод касательных с использованием табличного процессора?
Методы хорд и касательных могут быть реализованы с использованием табличного процессора, например, MS Excel. Для этого необходимо записать выражение уравнения в ячейке, а затем использовать функции и формулы табличного процессора для построения графика и нахождения корней уравнения. Это позволяет уточнить значения корней и получить приближенные решения нелинейных уравнений.
Какие методы применяются для решения нелинейных уравнений?
Для решения нелинейных уравнений используются приближенные методы, такие как метод хорд и метод касательных.
В чем состоит суть метода хорд?
Метод хорд основан на строительстве хорды (отрезка, соединяющего две точки на графике уравнения) и последующем пересечении с осью абсцисс. Затем новая точка используется для строительства новой хорды, и процесс повторяется до достижения заданной точности.
Что такое метод касательных?
Метод касательных, также известный как метод Ньютона, основан на аппроксимации графика функции линейной функцией (касательной). Затем находится точка пересечения касательной с осью абсцисс и процесс повторяется до достижения заданной точности.
Каким образом реализуется уточнение корней методом хорд в табличном процессоре?
Уточнение корней методом хорд в табличном процессоре осуществляется путем задания начальных приближений для корней и последовательного вычисления значений функции в предложенных точках до достижения заданной точности.
Как реализуется уточнение корней методом касательных в табличном процессоре?
Уточнение корней методом касательных в табличном процессоре осуществляется путем задания начальных приближений для корней и последовательного вычисления значений функции и ее производных в предложенных точках до достижения заданной точности.
Что такое нелинейное уравнение?
Нелинейное уравнение - это уравнение, в котором присутствует нелинейная функция от искомой переменной или переменных.
Какие методы используются для решения нелинейных уравнений?
Для решения нелинейных уравнений используются различные методы, одними из которых являются метод хорд и метод касательных.