линейное прграммирование. Решение канонических и транспортных задач

т.);
марганец: 54*0,9120+56,6*0,9985+1500*1,0628=1700 (тыс. т.);
известняк: 4*0,9120+8*0,9985=11,6 (млн. т.);
цветные металлы: 5*0,9120+7*1,0628=12 (тыс. т.);
уголь: 1467*0,9120+1275*0,9985+1083*1,0628=3762 (тыс. т.).
Железная руда, марганец и цветные металлы будут израсходованы полностью. Значит, данные виды сырья являются дефицитными.
Остатки годовых запасов известняка составят 0,4 млн. т., угля – 63 тыс. т.
Вывод: годовой план производства продукции следующий: 3718 т. стали, 3065 т. чугуна, 3601 т. металлопроката; общая стоимость продукции составит 4415628 ($).

4.2. Транспортная задача
На станциях Ai (i=1,2,3) сосредоточен однородный груз в количестве ai тонн груза, который требуется перевезти на станции назначения Bj (j=1,2,3,4,5) в соответствии с потребностями каждой станции в bj тонн груза. Известны затраты cj на перевозку тонны груза с любой станции Ai на любую станцию Bj. Требуется составить такой план перевозок, чтобы весь груз был вывезен, все потребности были бы удовлетворены, а суммарные затраты были бы минимальны.
Пункты назначения Запасы/потребности 85 65 90 30 30 Станции A1 120 7 4 12 9 6 A2 80 11 2 7 3 15 A3 100 4 5 12 8 5
Решение
Имеется груза на станции: тонн.
Требуется пунктам назначения: тонн.
Т.к. , то данная задача – закрытого типа.
n = 3 (число строк); m= 5 (число столбцов).
n + m – 1 =7
Нам нужно заполнить 7 клеток матрицы значениями, показывающими, сколько тонн груза нужно отправить со станции Ai в пункт Bj. Остальные ячейки будут пустыми.
План X1 составим методом северо-западного угла.
bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 85 4 35 12 9 6 80 11 2 30 7 50 3 15 100 4 5 12 40 8 30 5 30 Стоимость перевозки:
.
Введем числа и - потенциалы строк. Для всех ненулевых клеток выполняется равенство: . Вычислим значения потенциалов при . К матрице прибавим дополнительные строку и столбец, в который запишем значения потенциалов:
Вычисление потенциалов:



bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 85 4 35 12 9 6 0 80 11 2 30 7 50 3 15 -2 100 4 5 12 40 8 30 5 30 3 7 4 9 5 2
План транспортной задачи оптимален, если для любой нулевой клетки сумма потенциалов не превосходит стоимости перевозки, т.е. для любой нулевой клетки таблицы выполняется неравенство: ; .
Проверим выполнение неравенств для свободных клеток плана X1:
; ;
; ;
; ;
;
.
План Х1 не оптимален, следовательно его можно улучшить.
Поскольку наибольшее значение , то значит, нужно включить перевозку в клетку (A3; B1).
Составим цикл – ломаную замкнутую линию, имеющую начало в свободной клетке, которую мы будем улучшать, а остальные вершины – в занятых клетках.
Цикл следует сначала нарисовать, а затем последовательно изменить перевозки на некоторую величину Q, прибавляя и вычитая ее, во всех клетках, соответствующим вершинам цикла.

Теперь определим величину Q как наименьшее из тех перевозок, где оно вычиталось: .
Новый план перевозок X2 получается подстановкой значения Q:
Потенциалы вычисляются так же, как и было показано ранее.
План Х2:
bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 55 4 65 12 9 6 0 80 11 2 7 80 3 15 -8 100 4 30 5 12 10 8 30 5 30 -3 7 4 15 11 8
В ячейки, в которых не выполняется критерий оптимальности, вставлены символы ∆. Введем перевозку в клетку (A1; B3).


План Х3:
bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 45 4 65 12 10 9 6 0 80 11 2 7 80 3 15 -5 100 4 40 5 12 8 30 5 30 -3 7 4 12 11 8
Введем перевозку в клетку (A2; B4).





План Х4:
bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 15 4 65 12 40 9 6 0 80 11 2 7 50 3 30 15 -5 100 4 70 5 12 8 5 30 -3 7 4 12 8 8
Введем перевозку в клетку (A1; B5).


План Х5:
bj
ai 85 65 90 30 30 120 7 4 65 12 40 9 6 15 0 80 11 2 7 50 3 30 15 -5 100 4 85 5 12 8 5 15 -1 5 4 12 8 6
Критерий оптимальности выполняется во всех клетках матрицы, следовательно, план перевозок X5 является оптимальным.
Стоимость перевозки:
.
Вывод: оптимальный план перевозок:

При этом стоимость перевозок составит: .
Заключение

Одним из видов экономико-математических задач являются оптимизационные модели.
Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.
Для решения задач линейного программирования может быть применим симплекс-метод, позволяющий найти оптимальное решение за конечное число шагов.
Транспортная задача является одним из видов задач линейного программирования, заключающаяся в нахождении оптимального плана перевозок.
В данной работе были получены следующие результаты:
для достижения наибольшей прибыли некоторого предприятия горной промышленности следует применять следующий годовой план производства продукции: 3718 т. стали, 3065 т. чугуна, 3601 т. металлопроката; общая стоимость продукции составит 4415628 ($).
оптимальный план перевозок:

При этом стоимость перевозок составит: денежных единиц.





Список литературы

1. И.Н. Мастяева, Г.Я. Горбовцов, О.Н. Семенихина. Исследование операций в экономике: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. М., 2003. – 113 с.
2. Исследование операций: заачи, принципы, методология / Е.С. Вентцель. – М.: Дрофа, 2006. – 206 с.
3. Попова Н.В. Математические методы. Электронный учебник.
http://matmetod-popova.narod.ru/













20