Цепи Маркова

Из-за стерических эффектов марковские эффекты второго порядка также могут играть роль в росте некоторых полимерных цепей.Точно так же было высказано предположение, что кристаллизация и рост некоторых эпитаксиальных материалов из сверхрешеточных оксидов могут быть точно описанымарковскими цепями.Цепи Маркова используются в различных областях биологии. Известные примеры включают в себя следующие разделы.Филогенетика и биоинформатика, где большинство моделей эволюции ДНК используют непрерывные цепи Маркова для описания нуклеотида, присутствующего в данном сайте в геноме.Динамика населения, где цепь Маркова является, в частности, центральным инструментом в теоретическом исследовании матричных моделей населения.Нейробиология, где использовались цепи Маркова, например, для моделирования неокортекса млекопитающих. Системная биология, например, связана с моделированием вирусной инфекции отдельных клеток. Была предложена идея статистического теста цепей Маркова, метода соединения цепей Маркова с образованием «марковского одеяла», размещения этих цепочек в нескольких рекурсивных слоях («вафлирование») и создания более эффективных наборов тестов - выборок - в качестве замены для исчерпывающего тестирования. Оценки изменчивости солнечного излучения полезны для применений солнечной энергии. Изменчивость солнечного излучения в любом месте во времени является главным образом следствием детерминированной изменчивости пути Солнца через небесный купол и изменчивости облачности. Изменчивость доступного солнечного излучения на поверхности Земли была смоделирована с использованием цепей Маркова, включая моделирование двух состояний ясности и облачности как цепочки Маркова с двумя состояниями. Скрытые марковские модели являются основой большинства современных систем автоматического распознавания речи.Марковские цепи используются при обработке информации. Известная статья Клода Шеннона 1948 года «Математическая теория коммуникации», которая за один шаг создала область теории информации, открывается введением концепции энтропии посредством марковского моделирования английского языка. Такие идеализированные модели могут охватить многие статистические закономерности систем. Даже без полного описания всей структуры системы такие модели сигналов могут обеспечить очень эффективное сжатие данных с помощью методов энтропийного кодирования, таких как арифметическое кодирование. Они также позволяют эффективную оценку состояния и распознавание образов. Цепи Маркова также играют важную роль в обучении подкреплению.Цепи Маркова также являются основой для скрытых моделей Маркова, которые являются важным инструментом в таких разнообразных областях, как телефонные сети (которые используют алгоритм Витерби для исправления ошибок), распознавание речи и биоинформатика (например, в обнаружении перестановок).Алгоритм сжатия данных без потерь LZMA объединяет цепи Маркова и сжатие Лемпеля-Зива для достижения очень высоких коэффициентов сжатия.Цепи Маркова являются основой для аналитической обработки очередей в теории массового обслуживания. АгнерКраруп Эрланг начал тему в 1917 году. Это делает их критически важными для оптимизации производительности телекоммуникационных сетей, где сообщения часто должны конкурировать за ограниченные ресурсы (например, пропускную способность). Многочисленные модели массового обслуживания используют цепи Маркова с непрерывным временем. Например, очередь M / M / 1 представляет собой процесс с неотрицательными целыми числами, где восходящие переходы от i к i + 1 происходят со скоростью λ в соответствии с пуассоновским процессом и описывают прибытия рабочих мест, а переходы от i к i - 1 (для i> 1) происходят со скоростью μ (времена обслуживания задания распределены экспоненциально) и описывают завершенные услуги (вылеты) из очереди.В интернет-приложенияхPageRank веб-страницы, используемыеGoogle, определяется цепью Маркова. Вероятность оказаться на странице i в стационарном распределении в следующей цепочке Маркова на всех (известных) веб-страницах (рис. 4).Рисунок 4. Диаграмма состояний, представляющая алгоритм PageRank с переходной вероятностью M или .Если N - это число известных веб-страниц, и страница i имеет ki ссылок на них, тогда она имеет вероятность перехода для всех страниц, на которые имеются ссылки, и для всех страниц, на которые нет ссылок. Параметр α принимается равным примерно 0,85. Марковские модели также использовались для анализа поведения пользователей в веб-навигации. Переход веб-ссылки пользователя на конкретный веб-сайт может быть смоделирован с использованием моделей Маркова первого или второго порядка и может использоваться для прогнозирования будущей навигации и персонализации веб-страницы для отдельного пользователя.В статистике методы цепей Маркова также стали очень важными для генерации последовательностей случайных чисел для точного отражения очень сложных желаемых распределений вероятностей с помощью процесса, называемого цепью Маркова Монте-Карло. В последние годы это произвело революцию в практичности методов байесовского вывода, позволив смоделировать широкий диапазон распределений и найти их параметры численно.В экономике и финансах цепи Маркова используются в финансах и экономике для моделирования различных явлений, в том числе цен на активы и обвалов рынка. Первая финансовая модель, которая использовала цепь Маркова, была от Prasadetal. в 1974 году. Другой была модель переключения режимов Джеймса Д. Гамильтона (1989), в которой цепь Маркова используется для моделирования переключений между периодами высокого и низкого роста ВВП (или, альтернативно, экономического роста и спада). Более поздним примером является мультифрактальная модель Маркова с переключением, основанная на более ранних моделей переключения режимов. Она использует сколь угодно большую цепь Маркова, чтобы управлять уровнем волатильности доходности активов.Динамическая макроэкономика активно использует марковские цепочки. Примером является использование цепей Маркова для экзогенного моделирования цен акций (акций) в условиях общего равновесия. Агентства кредитных рейтингов составляют годовые таблицы вероятностей перехода для облигаций с различными кредитными рейтингами. ЗадачаУсловие.В некоторых играх (теннис волейбол и пр.) в конце играют до разрыва в 2 очка.В какой-то момент времени один игрок имеет +1. Какова вероятность, что он в конце концов выиграет, при предположении, что игроки равносильны.Решение.Процесс образует цепь Маркова с вероятностью перехода, равной ½.Задача состоит в том, чтобы найти асимптотическое распределение накопленной вероятности выигрыша каждого игрока.Вероятность достижения разрыва в 2 очка на шаге i для первого игрока, имеющего изначально Р* очко, равнаНиже приведена таблица с вероятностями достижения выигрыша каждого из игроков в зависимости от номера перехода.12345678910Σ Pi0,50,1250,031250,007810,0019530,0004880,0001223,05E-057,63E-061,91E-060,6666670,50,6250,656250,664060,66600,66650,66660,66660,666660,6666660,6666670,250,06250,0156250,0039060,0009770,0002446,1E-051,53E-053,81E-069,54E-070,3333330,250,31250,3281250,3320310,3330080,3332520,3333130,3333280,3333320,3333330,333333Ответ. Вероятность выигрыша 1-го игрока равна 0,666 (6).ЗаключениеСлучайные процессы представляют собой наборы случайных величин, часто индексируемые по времени (индексы, как правило, обозначают непрерывное или дискретное время). Для случайных процессовмарковское свойство означает, что при заданном текущем состоянии вероятность будущего не зависит от прошлого (это свойство также называется «отсутствием памяти»).Цепь Маркова с дискретным временем описывает случайные процессы с индексами дискретного времени, которые удовлетворяютмарковскому свойству, значительно облегчает изучение этих процессов и позволяет вывести различные явные результаты (получить стационарное распределение, среднее время возвратности и другие).Так, одна из возможных интерпретаций PageRank (но не единственная) заключается в имитации веб-пользователя, случайным образом перемещающегося от страницы к странице; при этом показателем ранжирования становится индуцированное стационарное распределение страниц (на самые посещаемые страницы в устоявшемся состоянии должны ссылаться другие часто посещаемые страницы, а значит, самые посещаемые являютсяболее релевантными).Список использованной литературыТурчин В. Н., Турчин Е. В. Марковские цепи. Основные понятия, примеры, задачи. 2016г, 192с.Теория случайных процессов Часть 2.Марковские процессы: учеб. пособие для студ. ФПМК /под ред. С.П. Моисеева. -Томск: ТГУ, 2014.-57с.Рудой Ю. Г., Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике, ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. 6-е изд., испр. − СПб.: Лань, 2003. − 272 с.Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. — М.: Мир, 1989. — 207 с.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.Чжун Кай-лай Однородные цепи Маркова. Перев.с англ. — М.: Мир, 1964. — 425 с.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высшая школа,2003.-480 с.Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.-М.:Юстиция,2018.-480 с.Маркова цепь / А. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО, 2009. -- 295 с.: ил.Вернер М. Основы кодирования. Учебник для ВУЗов. -- М.: Техносфера, 2004.-288с.