Четырёхугольники и их элементы

5) Параллелограмм Вариньона будет являться ромбом, если диагонали в исходном четырехугольнике были равны, а бимедианы перпендикулярны.
6) Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в начальном четырехугольнике: диагонали были перпендикулярными, а бимедианы равными.
7) Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда диагонали в исходном четырехугольнике равны и перпендикулярны; и бимедианцы равны и перпендикулярны.
Доказательство
Проведём диагональ АС {\displaystyle AC}. Отрезки IJ{\displaystyle IJ} и LK{\displaystyle LK} будут средними линиями треугольников ∆ABC{\displaystyle \triangle ABC} и ∆ADC (рис. 21){\displaystyle \triangle ADC}. По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу.
Рис. 21
Повторяя аналогичные соображения для диагонали BD, мы видим, что противоположные стороны четырехугольника IJKL параллельны, и, по определению, это параллелограмм.
Доказательство того, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырехугольника.
Пусть диагональ AC проходит внутри четырёхугольника (рис. 21). Тогда площадь треугольника {\displaystyle ABC}ABC равна {\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}}, где {\displaystyle h_{b}} hb - высота треугольника {\displaystyle ABC}ABC, проведённая из вершины {\displaystyle B}B. Аналогично, площадь треугольника {\displaystyle ADC}ADC равна  {\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}}. Тогда площадь всего четырёхугольника равна  {\displaystyle {\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}}. Но  {\displaystyle {\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}} — это сумма расстояний до прямой {\displaystyle AC}AC от точек {\displaystyle E}E и {\displaystyle H}H, то есть в точности высота параллелограмма {\displaystyle EHGF}EHGF. А поскольку сторона {\displaystyle GH}GH параллелограмма вдвое меньше {\displaystyle AC}AC, то и площадь параллелограмма равна половине площади {\displaystyle ABCD}ABCD.
Ч.т.д.
Параллелограмм Вариньона для любых видов четырехугольника.
выпуклый четырёхугольник невыпуклый четырёхугольник самопересекающийся четырёхугольник
2.2. Неравенство Птолемея, теорема Гаусса и прямая Гаусса соотношение Бретншнайдера.
Неравенство Птолемея
Для сторон a,b, c, d {\displaystyle a,b,c,d} и диагоналей {\displaystyle e,f} выпуклого четырёхугольника выполнено неравенство Птолемея:
{\displaystyle |e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,}
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность, рис. 23
или его вершины лежат на одной прямой [8, c. 62].
Прямая Гаусса — прямая, соединяющая середины диагоналей четырёхугольника. На рисунке 24 отмечена пунктирной линией.

Рис. 24
Теорема Гаусса
Если в четырехугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой линии, проходящей через середину отрезка, соединяющего точки пересечения этих противоположных сторон. Указанная линия называется линией Гаусса (показана пунктирной линией) [11].
Эквивалентная формулировка: если прямая, которая не проходит через вершины треугольника ABCABC, пересекает его стороны BC, CA, ABBC, CA, AB соответственно в точках A1, B1, C1A1, B1, C1, то средние точки отрезков AA1, BB1, CC1AA1, BB1, CC1 коллинеарны.
Если четыре линии касаются окружности, то центр этой окружности лежит на одной и той же гауссовой линии. Это утверждение называется теоремой Ньютона.
Свойства:
1) Гауссова линия перпендикулярна линии Обера.
2) Гауссова линия также содержит точку пересечения двух средних линий, соединяющих средние точки противоположных сторон выпуклого четырехугольника (первая и вторая средние линии четырехугольника).
3) Теорема Анны, названная в честь французского математика Пьера Леона Анны (1806-1850), гласит, что в любом четырехугольнике ABCD, который не является параллелограммом, линия Гаусса является геометрическим местоположением точек O со свойством:
S(∆AOB)+S(∆COD)=S(∆BOC)+S(∆DOA), где S(∆AOB) означает ориентированную площадь ∆AOB.
Если формулы прямых четырёхсторонника в декартовых координатах имеют вид , то соответствующая ему прямая Гаусса задаётся уравнением , где – матрицы размера 4х4, в которых , , , , , , .
Отношение между сторонами четырехугольника и его диагоналями.
6 расстояний между 4 произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением [8 с. 87]:

{\displaystyle a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right)+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2}\right)+}{\displaystyle +e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\right)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}}
Это соотношение можно представить в виде определителя:
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0}
Этот определитель с точностью до 288 является выражением для квадратного объема тетраэдра по длине его ребер с использованием определителя Кэли-Менгера. Если вершины тетраэдра лежат в одной плоскости, то он имеет нулевой объем и превращается в четырехугольник. Длина ребер будет равна длине сторон или диагоналей четырехугольника. Отношения Бретшнайдера
Соотношения Бретшнейдера - соотношение сторон a, b, c, d и противоположных углов {\displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)}
{\displaystyle e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2}}}{\displaystyle e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2}}}
Теоремы о средних линиях четырёхугольника
Пусть G, I, H, J — середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F — середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника (рис. 25). Первые две из них также называют бимедианами [8 c. 112].

Рис. 25
Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона.
Обобщенная теорема Ньютона. Все три центральные линии четырехугольника пересекаются в одной точке (в центре тяжести вершин («центр вершины») четырехугольника) и делят его пополам (рис. 25).
Середины E и F двух диагоналей, а также центроид вершин K выпуклого четырехугольника лежат на одной прямой EF. Указанная линия называется линией Ньютона (рис. 25).
Обратите внимание, что линия Ньютона совпадает с линией Гаусса, потому что обе проходят через середину диагоналей.












ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью данной работы было провести классификацию четырехугольников, систематизировать знания для подробного изучения темы «четырехугольники и их свойства» в курсе математики общеобразовательной школы. В ходе теоретического исследования получены следующие результаты: рассмотрена теория по теме «четырехугольник и его элементы», приведены и систематизированы основные формулы, и изучены дополнительные теоремы и формулы, выходящие из курса школьной геометрии.
Изучив виды и свойства четырёхугольников, я сделала вывод, что тема четырёхугольники очень интересна, подчеркнула много полезной и новой информации, которой буду пользоваться в дальнейшем.


















Список литературы:
1. Александров, А. Д. Геометрия : учеб. пособие для 8 кл. с углубл. изучением математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М: Просвещение, 2002. – 240 с.
2. Амелькин, В. В. Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: учеб. пособие по математике / В. В. Амелькин. – Минск: ООО «Асар», 2003. – 592с.
3. Атанасян, Л. С. Курс элементарной геометрии. Ч.1. / Л. С. Атанасян. – М: Сантакс – Пресс, 1997. – 304 с.
4. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений /– 20-е изд. – М: Просвещение, 2010. – 384 с
5. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четырехугольника//Математика.
2006 – №22. –41-49 с.
6. Манкевич Р., История математики/М: «Ломоносовъ», 2011, – 87 с.
7. Мерзляк А.Г, Полонский В.Б, геометрия: учебник для общеобразовательных учреждений/ М, «Вентана – Граф» 2013, 206 с.
8. Понарин, Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я. П. Понарин. – М: МЦНМО, 2004. – 312с.
9. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //
Математика в школе № 9 – 2013, 35–39 с.
10. Шарыгин, И. Ф. Геометрия. 7 - 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин. – М: Дрофа, 2012. – 462 с.
11. Четырёхугольник. Материал из Википедии - свободной энциклопедии // http://ru.wikipedia.org/wiki от 14.04.2020.









2