Цифровые и функциональные ряды
Заказать уникальную курсовую работу- 1414 страниц
- 3 + 3 источника
- Добавлена 02.09.2020
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
1.Общие сведения о степенных рядах……………………….3
1.1 Понятие степенного ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда …………………………………………………………3
1.2 Теорема Абеля………………………………………………4
2.Индивидуальное расчетное задание………………………6
Заключение……………………………………………………13
Список использованной литературы………………………14
Решение:Данный ряд является знакочередующимся рядом. Для решения вопроса о сходимости данного ряда воспользуемся признаком Лейбница. Проверим выполнение двух условий:Делаем вывод, что члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.Значит, общий член ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера.Оба условия теоремы Лейбница выполнены, поэтому заключаем, что данный ряд сходится.Теперь выясним тип сходимости ряда. Для этого рассмотрим ряд составленный из модулей, то есть знакоположительный ряд:Определим сходимость данного ряда с помощью интегрального признака Коши, для этого рассмотрим следующий несобственный интеграл:Так как данный несобственный интеграл расходится, делаем вывод, что ряд из модулей расходится. Следовательно, исходный ряд сходится условно.Задание 1.5. Найти область сходимости степенного рядаРешение:Данный ряд есть ряд вида:Центр сходимости степенного ряда есть точка x0=-2. Чтобы найти область сходимости данного степенного ряда, достаточно найти его интервал сходимости и выяснить, сходится ли ряд на концах интервала.Определим радиус сходимости по формуле:Тогда, ряд сходится для всех x, удовлетворяющих неравенству . В данном случае неравенство запишется так:Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.Если x=-3, то получим следующий ряд:Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.Если x=-1, то получим ряд:Данный ряд также сходится. Таким образом, обе точки x=-3 и x=-1 входят в область сходимости степенного ряда, а значит, область сходимости выглядит так:ЗаключениеВ данной курсовой работе были рассмотрены степенные ряды, а также практические задачи на определение сходимости степенных рядов, областей и интервалов сходимости.Список литературы1) Атабеков, Г.И. А92 Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учебное пособие. 7-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 592 с2) Вишик, М.И. Тригонометрические ряды // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. - 122-127 с.3) Воробьев, Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1986. - 408 с.
2) Вишик, М.И. Тригонометрические ряды // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. - 122-127 с.
3) Воробьев, Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1986. - 408 с.
Вопрос-ответ:
Что такое степенной ряд?
Степенной ряд - это бесконечная сумма слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение степени переменной на коэффициент. Такой ряд обычно записывается в виде ∑(a_n * (x - x_0)^n), где a_n - коэффициенты, x - переменная, x_0 - центр разложения.
Что такое интервал и радиус сходимости степенного ряда?
Интервал сходимости - это множество значений переменной x, для которых степенной ряд сходится. Радиус сходимости - это положительное число R, такое что ряд сходится для всех x, удовлетворяющих условию |x - x_0| < R и расходится для всех x, удовлетворяющих условию |x - x_0| > R.
Какая теорема позволяет определить сходимость степенного ряда?
Теорема Абеля - это теорема, которая позволяет определить сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости. Согласно этой теореме, если степенной ряд сходится в точке x = a, то он сходится для всех x, |x - a| < R, где R - радиус сходимости.
Как проверить сходимость знакочередующегося ряда?
Для проверки сходимости знакочередующегося ряда можно воспользоваться признаком Лейбница. По этому признаку, если последовательность а_n, образованная из модулей слагаемых ряда, монотонно убывает и сходится к нулю, то знакочередующийся ряд сходится.
Как решить задачу о сходимости определенного знакочередующегося ряда?
Для решения вопроса о сходимости знакочередующегося ряда нужно проверить выполнение двух условий признака Лейбница: монотонное убывание последовательности а_n и сходимость к нулю. Если оба условия выполняются, то ряд сходится, иначе он расходится.
Что такое степенной ряд?
Степенной ряд - это бесконечная сумма элементов, каждый из которых представляет собой произведение степени переменной x на коэффициент. Например, ряд x + 2x^2 + 3x^3 + ...
Что такое интервал сходимости степенного ряда?
Интервал сходимости степенного ряда - это множество значений x, для которых ряд сходится. Может быть конечным или бесконечным.
Как проверить сходимость степенного ряда по признаку Лейбница?
Для проверки сходимости степенного ряда по признаку Лейбница нужно выполнить два условия: первый - коэффициенты ряда должны убывать по модулю, и второй - предел коэффициентов должен быть равен 0.
Как решить задание по расчету знакочередующегося ряда?
Для решения задания по расчету знакочередующегося ряда нужно применить признак Лейбница. Проверить выполнение двух условий и сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.