Принятие решений в условиях конфликта

) Конечно, это ещё не все; любое множество, состоящее из единственного дележа, этим свойством обладает. Наше же множество дележей имеет, помимо этого, и следующее свойство: любой делёж, кроме трёх дележей αij , доминируется одним из дележей αij . Чтобы это проверить, рассмотрим какой-нибудь делёж x = (x1, x2, x3). Так как мы рассматриваем игру в нормализованной форме, то xi ≥ 0 и x1 + x2 + x3 = 1. Следовательно, не более двух компонент вектора x могут быть не меньше. Если их действительно две, то каждая из них равна , в то время как третья равна 0. Но это означает, что x совпадает с одним из αij . Если же x — какой-либо иной дележ, то у него не более одной компоненты, не меньшей чем. Значит, по крайней мере две компоненты, скажем xI и xj , где i < j, меньше. Но в таком случае ясно, что αij{i,j} x. Мы, таким образом, приходим к следующему определению для нашей «концепции решения». Рассмотрим далее формально-математическую конструкцию понятия, рассмотренного в описанном примере. Определение. Пусть x и y — два дележа и S — некоторая коалиция. Говорят, что x доминирует y по коалиции S (обозначается xS y), еслиxi > yi для всех i∈S, ≤ (S). Делёж x доминирует y (обозначается x y), если существует такая произвольная коалиция S, что xy. Таким образом, условие () означает, что все члены S предпочитают x; условие () говорит о том, что они в состоянии получить то, что им положено по дележу x. Как легко видеть, отношение S (для любого заданного S) является отношением частичной упорядоченности. С другой стороны, хотя отношение и иррефлексивно, оно не является ни транзитивным, ни антисимметричным (так как коалиция S в различных случаях может быть различной). Это — серьезная трудность, и впоследствии она сильно усложнит дело.Определение.Множество дележей V ⊂ Eназывается НМ-решением игры v, если )из x, y∈ V следует, что x y не может иметь места; () если x V , то найдется такой y ∈ V , что y x. Таким образом, НМ-решение удовлетворяет как условию внутренней устойчивости (ни один делёж из V не доминирует другого), так и условию внешней устойчивости (любой дележ, не входящий в V , доминируется каким-нибудь дележом из V ).Вектор ШеплиЗначение ТП кооперативных игр каждой игре : S → (S) ставит в соответствие сбалансированное распределение x∈ Rn величины v(I), т. е. = (I). Пусть задана некоторая последовательность игроков π = (i1, i2, . . . , in). Этой последовательности ставится в соответствие вектор маргинальных вкладов x(π) = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn , заданный по формуле:xi1 = v({i1}), xi2 = v({i1, i2}) − v({i1}), . . . , xin= v(N) − v({i1, i2, . . . , in-1}). Содержательно этот вектор x(π) определяет выплаты (делёж) игрокам общего выигрыша v(I) в соответствии с заданным упорядочиванием игроков. Вектор Шепли это средний вектор, вычисленный по всевозможным упорядоченным последовательностям игроков. Первое достоинство вектора Шепли заключается именно в том, что он реализует идею распределения выигрыша, основанную на маргинальных вкладах и при этом малые коалиции могут играть существенную роль. Таким образом, доля прибыли (затрат) агента i вычисляется как средняя маргинальная прибыль (затраты), добавляемые агентом i к каждой коалиции остальных агентов. Для того чтобы получить соответствующую формулу, представим, что агенты из I случайно упорядочены (i1, i2, . . . , in), причём вероятность каждого упорядочения одинакова. Агенту i векторШепли приписывает среднее его маргинальной прибыли v(S ∪ {i}) − v(S) взятое по всем коалициям S ⊂ I \{i}, включая пустое множество. Вес коалиции S соответствует вероятности того, что в случайной очереди (i1, i2, . . . , in) перед агентом i стоят в точности элементы из множества S . Непосредственное вычисление этой вероятности даёт величину s!(n − s − 1)!/n!, где s есть размер S. В самом деле, существует ровно s!(n−s−1)! упорядочений I таких, что первые s элементов берутся из S, а последние n − s − 1 элементов берутся из I \ (S ∪ {i}).Определение 3.1 Для данной ТП-игрыv :S → v(S), S ⊆ I вектор Шепли ϕ распределяет выигрыш v(I) максимальной коалиции следующим образом:ϕi(v) = \{i} , i∈ I,где по соглашению 0! = 1, v(∅) = 0 и s = |S|. Мы утверждаем, что вектор (ϕ,ϕ2, . . . , ϕn) из определения 3.1 является распределением V (I).В самом деле, для того чтобы проверить =(I) вспомним данную выше вероятностную интерпретацию вектора Шепли. Для любого данного порядка, скажем (1, 2, . . . , n), вектор маргинальных вкладов x равен x1 = v(1); xi = v(1, 2, . . . , i) − v(1, 2, . . . , i − 1) при i = 2, . . . , n. Таким образом, равенство v(I) выполняется для каждого вектора маргинальных вкладов, от которых мы берем среднее, следовательно, P I ϕi = v(I). В качестве альтернативы мы можем проверить справедливость этого равенства непосредственно в формуле (3.4). Преобразуя , выберем любую собственную коалицию S из I и посчитаем её коэффициентs- (n-s)=0где коэффициент при равен Заметим сначала, что если игра супераддитивна, то вектор Шепли является индивидуально рациональным, т. е. агент iполучает по крайней мере доступный ему выигрыш (i). Для доказательства этого утверждения заметим, что из супераддитивности следует v(S ∪ {i}) − v(S) ≥ v(i) ∀S ⊂ I \ {i}. В формуле коэффициент при v(S ∪ {i}) − v(S) есть вероятность того, что в случайной очереди перед агентом i стоят в точности элементы из S, следовательно, сумма этих коэффициентов при S, изменяющейся в I \ {i}, равна единице, откуда ϕi ≥ v(i). Таким образом, при использовании вектора Шепли один агент не может отделиться и высказывать возражения. Тем не менее промежуточные коалиции могут иметь такую возможность, как показывает наш первый пример. Выпуклые игры Примеры показывают, что вектор Шепли не удовлетворяет принципу отделения: существуют игры с непустым ядром, в которых вектор Шепли лежит вне ядра. Выпуклые игры представляют собой важный класс игр, в которых ядро непусто и содержит вектор Шепли. На самом деле вектор Шепли расположен в центре ядра выпуклой игры. Грубо говоря, игра является выпуклой, если имеет место возрастание доходов от кооперации. В рамках ТП-игр этот тезис читается следующим образом: чем больше коалиция, к которой присоединяется игрок i, тем больше его маргинальный вклад.ОпределениеТПкооперативнаяиграvявляетсявыпуклой, еслиудовлетворяетодномуиздвухэквивалентныхсвойств:длявсехi∈ I, S, T ⊆ I \ {i}: S ⊂ T ⇒ v(S ∪ {i}) − v(S) ≤ v(T ∪ {i}) − v(T), (3.5)длявсехS, T ⊆ I: v(S) + v(T) ≤ v(S ∪ T) + v(S ∩ T), (3.6) гдеnoсоглашениюv(∅) = 0. Длятогочтобыубедитьсявуказаннойэквивалентности, заметимсначала, что (3.5) являетсячастнымслучаем (3.6) длякоалицийS∪ {i} иT. Обратно, предположим, чтовыполнено (3.5), ирассмотримдвекоалицииS, TдлякоторыхвыполненоS⊂T. ОбозначимR = I \Tирассмотримпоследовательность {i1, i2, . . . , ir}, покрывающуюR. Последовательноприменяя (3.5), получимv(S∪ {i1}) − v(S) ≤ v(T∪ {i1}) − v(T), v(S∪ {i1, i2}) − v(S∪ {i1}) ≤ v(T∪ {i1, i2}) − v(T∪ {i1}), . . . v(S∪ {i1, ..., ik}) − v(S∪ {i1, ..., ik−1}) ≤ v(T∪ {i1, ..., ik}) − v(T∪ {i1, ..., ik−1}). Суммируя эти неравенства, мы находим, что для любой коалиции R0 ⊂ I \ T = R выполнено v(S ∪ R ) − v(S) ≤ v(T ∪ R ) − v(T).Зафиксируем теперь две произвольные коалиции S0 и T0 (необязательно, чтобы одна содержалась в другой) и применим последнюю формулу к S = S0 ∩ T0 и T = T0 и R0 = S0 \ T0. Отсюда выводим желаемое свойство (3.6).Замечательное свойство выпуклых игр состоит в том, для любого порядка на I соответствующий вектор маргинальных вкладов принадлежит ядру. Следовательно, выпуклая игра является сбалансированной. Более того, барицентр множества векторов маргинальных вкладов, т. е. вектор Шепли, принадлежит ядру (поскольку ядро является выпуклым подмножеством R n ). Лемма 3.1 Пусть v(·) — выпуклая ТП-игра, а множество I упорядочено следующим образом: {i1, i2, . . . , in}. Соответствующий вектор маргинальных вкладов xik = v({i1, i2, . . . , ik}) − v({i1, i2, . . . , ik−1}) принадлежит ядру данной игры. Следовательно, вектор Шепли также принадлежит ядру. Доказательство. Для простоты обозначений будем считать, что множество I упорядочено так: {1, 2, . . . , n}. Соответствующий вектор маргинальных вкладов обозначим x. Выберем произвольную коалицию S ⊆ I и упорядочим её элементы следующим образом: S = {i1, i2, . . . , is}. Для любого k, 1 ≤ k ≤ s, применим (3.5) при условии, что S 0 = {i1, i2, . . . , ik−1}, T 0 = {1, 2, . . . , ik − 1} и i = ik: v(i1, i2, . . . , ik) − v(i1, i2, . . . , ik−1) ≤ v(1, 2, . . . , ik) − v(1, 2, . . . , ik − 1) = xik . Суммируя эти неравенства nok от 1 до s, получаем v(i1, i2, . . . , is) = v(S) ≤ X k=s k=1 xik = X S xi требуемое неравенство. Второе утверждение леммы следует из того, что ядро является выпуклым подмножеством R n , а вектор Шепли определяется как равномерное среднее векторов маргинальных вкладов. Верно и обратное утверждение: если все векторы маргинальных вкладов принадлежат ядру, то игра является выпуклой. В выпуклых играх вектор Шепли занимает центральное положение в ядре. Действительно, векторы маргинальных вкладов являются крайними точками (вершинами) (выпуклого) ядра, или, что-то же самое, ядро является выпуклой оболочкой векторов маргинальных вкладов. Нормализованная супераддитивная игра трёх лиц задаётся так: v(i) = 0 при i = 1, 2, 3; v(I) = 1; 0 ≤ v(ij) ≤ 1 для всех i, j, i 6= j.Заметим, что в случае, когда S содержит T или наоборот, формула (3.6) становится тривиальной. Поэтому выпуклость игры трёх лиц сводится к трём неравенствам, соответствующим (3.6), где S и T — различные двухэлементные коалиции: v(ij) + v(jk) ≤ v(I) + v(j), i 6= j 6= k. С учётом того что игра является нормализованной, это означает: v(ij) + v(jk) ≤ 1 для всех {ij}, {jk}, где i, j, k попарно различны. Существует только один анонимный и маргинальный оператор значения. Это — вектор Шепли. n-ядроОпределение. Дляфиксированногоα∈ R1 α-N-ядромигры (N, v) называетсямножествовекторов: N α (v) = {x ∈ X 0 (v) : θ(e α (x, v, S)S⊆N ) lexθ(e α (y, v, S)S⊆N ), y ∈ X 0 (v)}, гдеθ(e α (x, v, S)S⊆N ) — вектор, компонентыкоторого (α-эксцессы) расположенывпорядкеневозрастания. Определение 14. [0, 1]-N-ядром игры (N, v) на множестве X0 (v) будем называть множество всех α-N-ядер игры (N, v) для α ∈ [0, 1] и обозначать N [0,1](v), т.е. N [0,1](v) = [ α∈[0,1] N α (v). Cледующие теоремы верны не только для α ∈ [0, 1], но и для α ∈R1 . Теорема 6. α-N-ядро кооперативной игры (N, v) совпадает с пред-Nядром игры (N, vα ) для любого α ∈ R1 , где v α (S) = αv(S) + (1 − α)v ∗ (S)Индексы Шепли-Шубика и БанцафаОчевидно, что важной характеристикой влияния игрока является его способность блокировать принимаемые решения. Оценить эту способность позволяет индекс влияния Дж. Коулмана (γ )8 , который вычисляется по формуле: γ (i) = ,где b1 — число коалиций, в которых партия i является ключевой, а — общее число всех выигрывающих коалиций. Рассчитаем индекс Коулмана для партий А, В и С из рассмотренного выше примера: γ (A) = =1γ (B) = γ (C) = . Таким образом, влияние партии A, входящей в состав всех выигрывающих коалиций, равно единице, так как эта партия может заблокировать любое решение в данном парламенте.Предположим, что при принятии решений у игроков имеются три альтернативы: проголосовать «за», проголосовать «против» и «воздержаться». Будем называть выигрывающей коалицией множество игроков, голосующих «за», чьих голосов достаточно, чтобы принять решение без голосов остальных игроков. Попрежнему ключевыми остаются игроки, при выходе которых из выигрывающей коалиции она превращается в проигрывающую. Модифицированный индекс влияния Банцафа для трех альтернатив (β 3) можно вычислить по формуле: β3(i) =где b' — число распределений голосов между тремя альтернативами, в которых игрок i голосует «за» и является ключевым. Соответственно, мерой влияния Банцафа для трех альтернатив () будет отношение числа распределений bi к числу всех возможных распределений голосов, когда игрок iголосует «за»: β'3(i)Вернемся к приводившемуся в предыдущем разделе примеру и пjпытаемся определить индекс и меру влияния Банцафа для партий А, B и С при наличии трех альтернатив.«За»«Против»«Воздержался»1АВС2АВ+С_3А_В+С4АСВ5А+ВС_6А+В_С7А+СВ_8А+С_В9А+В+С_-Таким образом, партия А оказывается ключевым игроком в распределениях 5, 6, 7, 8 и 9. Соответственно, индекс и мера влияния Банцафа для нее будут выглядеть следующим образом: β3(А) =;β'3(А) 3-1=Проведя аналогичные расчеты применительно к партиям В и С, получим: β3(β) =β3(С) = β'3(β)=β'3(С)=В рассматриваемом случае индекс и мера влияния Банцафа совпали, однако такое совпадение является скорее исключением, чем правилом.ЗаключениеВ заключении хотелось отметить, что каждый, рассматривал свои разработки в принятии решений в условиях конфликта, разрабатывая концепции работ, корпоративных игр, рассматривая по – новому, привнося что – то новое свое, дополняя, анализируя в своих исследованиях. Это удивительные труды, которые заложили основы конфликтологии и данного анализа в принятии решений.Современная страсть к познанию, горизонты которого раз за разом отодвигаются на все более необозримые расстояния, принуждает нас как и прежде обращаться к словам и теориям великих ученых, подчеркивающим, что момент самоопределения и самопознания, осознание того, что представляет собой человек, как он видит себя и какое место занимает в мире, все еще является первостепенным и одним из самых важных. В этом как нельзя, кстати, помогает теория игр. Это математическая дисциплина, которая изучает результаты и правила поведения в конфликтных ситуациях, обеспечивающие достижение долговременных и лучших (в заранее определённом формальном смысле) исходов разрешения конфликта. Кооперативная теория игр изучает столкновение интересов в той части человеческой деятельности, где результат достигается путём объединения усилий нескольких (многих) индивидов (игроков). Основное внимание кооперативной теории концентрируется на описании и изучении вариантов возможных стабильных и справедливых «дележей» (распределения) общественного продукта. В ходе написания курсовой работы нам удалось доказать вынесенную на защиту гипотезу. Этойпроблематике было посвящено проведенное с позиций социально-философского подхода данное курсовое исследование. Список литературыБондарева О. Н., Кулаковская Т. Е., Наумова Н. И. (1979). Решение произвольной кооперативной игры четырех лиц// Вестник Ленинградского университета (Математика), 2(7), 104–105 Данилов В. И. Лекции по теории игр. Москва: Российская экономическая школа, 2002 140 c. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. Пер. с англ., Москва: Мир,1991Оуэн Г.. Теория игр. Пер. с англ., Москва: Мир, 1971Партхасаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. Пер. с англ., Москва: Мир,1974Хачатрян, С. Р. Методы и модели решения экономических задач : учеб.пособие / С. Р. Хачатрян, М. В. Пинегина, В. П. Буянов ; Центр. экон.-мат. ин-т РАН ; Моск. акад. экономики и права. – М. : Экзамен, 2005. – 384 с. Шикин, Е. В. Математические методы и модели в управлении : учеб.пособие / Е. В. Шикин, А. Г. Чхартишвили. – М. : Дело, 2000. – 440 с.Scarf, H. (1967). The core of an N person game// Econometrica, 35, 50–69 Lucas,W., F. (1967). A game with no solution// RAND Memorandum M-5518-PR, RAND Corporation. October 1967