Подготовка факультативного курса по теме "Диофантовы уравнения" для школьников 7-11 классов

Заказать уникальную дипломную работу
Тип работы: Дипломная работа
Предмет: Методика преподавания
  • 5555 страниц
  • 54 + 54 источника
  • Добавлена 09.01.2022
3 000 руб.
  • Содержание
  • Часть работы
  • Список литературы
  • Вопросы/Ответы
Введение 3
Глава 1. Теоретическое исследование диофантовых уравнений 7
1.1. История развития теории диофантовых уравнений 7
1.2. Определение, типы и способы решения диофантовых уравнений 11
Глава 2. Общее представление о введении факультативных курсов в общий образовательный процесс по математике в рамках школьного обучения 22
2.1. Факультативный курс как элемент современного образовательного процесса 22
2.2. Организация и методика проведения факультативных занятий по математике 30
Глава 3. Проектирование факультативного курса по теме "Диофантовы уравнения" для школьников 7-11 классов 35
3.1. Диофантовы уравнения в школьном курсе и при решении заданий ЕГЭ 35
3.2. Программа факультативного курса «Диофантовы уравнения» 52
Заключение 57
Список использованной литратуры 52

Фрагмент для ознакомления

Глава 3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА ПО ТЕМЕ "ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ" ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 7-11 КЛАССОВ3.1. Диофантовы уравнения в школьном курсе и при решении заданий ЕГЭДиофантовы уравнения практически не преподаются на уроках математики в школе, но эти уравнения считаются задачами в математике в старших классах и на математических олимпиадах. Поэтому рекомендуется организовывать в этой связи различные внеклассные и факультативные занятия.В последнее время диофантовы уравнения стали одним из источников для формирования базы задач типа ЕГЭ С6 по математике (до 2014 г. включительно), а также задач № 21 (профильный уровень) в материалах ЕГЭ 2015- 2016 и № 19 (профильный уровень) 2017. Поскольку основное различие таких задач заключается в их необычности, для построения решения могут потребоваться нестандартные методы. Следовательно, чтобы успешно сдать экзамен, ученику необходимо знать как теорию, так и методологию решения диофантовых уравнений.Рассмотрим примеры таких задач и способы их решения.(см.Приложения).Линейные диофантовыуравнения.1.Найдитеобщеерешениеуравнения,гдесцелоечисло,ивзаимнопростыечислаи,где,частноерешениеэтогоуравнения.Решение.Таккакрешениеуравнения,тоИзуравнениявычтемчисловоеравенствоиполучим:Таккакивзаимнопростыечисла,тоизуравнения(1)следует,чтоделитсянаа.Тогдасуществуетцелоечислотакое,чтоИзуравнения(1)находим:Такимобразом,получили,чтообщимрешениемисходногоуравненияявляетсяпарагде–любоечастноерешение,t–любоецелоечисло.2.НайдитечастноерешениеуравненияРешение.Уравнение(1)имеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Преобразуем исходноеуравнение(выразимучерезх)Уравнение(2),азначити уравнения(1), имеетцелыерешения,есликратно23.2.Найдемзначениех,прикоторомкратно23:Итак,кратно23,если3.Еслитоизуравнения(2)илиуравнения(1)находиму:Итак,частнымрешениемуравнения(1)являетсяпара.Ответ..3.РешитевцелыхчислахуравнениеРешение.Уравнение(1)имеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Пусть,где,частноерешение уравнения(1).Таккакрешениеуравнения,тоИзуравнениявычтемиполучим:Таккак7и8взаимнопростыечисла,тоизуравнения(2)следует,чтоделитсяна7.Тогдасуществуетцелоечислотакое,чтоИзуравнения(2)находим:Итак,где–любоечастноерешение,t–любоецелоечисло.2.Найдемчастноерешениеуравнения(1).Преобразуемуравнение(1):Таккаклеваячастьуравнения(2)кратна7,тоуравнениеимеетрешение,еслииправаяуравнения(2)кратна7.Праваячастьуравнения(2)кратна7,например,еслиЕслитоизуравнения(2)находим,чтоИтак,частнымрешениемуравнения(1)являетсяпара3.Таккакгдетообщимрешениемуравнения(1)являетсяпарагдеОтвет.где.4.РешитевцелыхчислахуравнениеРешение.Уравнениеимеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Преобразуем исходноеуравнение(выразимхчерезу)Числохявляетсяцелымчислом,еслицелоечисло.Числоявляетсяцелым,есликратно23.2.Преобразуем:гдеНайдемзначениеприкоторомделятсяна23.Числоделитсяна23,например,еслиТогдаТаккактоизуравнения(1)имеемЧислохявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,чтоЕслитоизуравнения(2)находим:где.3.Такимобразом,общимрешениемисходногоуравненияявляетсяпарагде.Ответ.где.5.Докажите,чтоуравнениеимеетрешениявцелыхчислах,ауравнениенеимеетрешенийвцелыхчислах.Найдитечастноерешениеуравнения(1).Решение.1.Разложимнамножителичисла:а)Таккакчислаимеютобщиймножитель,равный31,тообечастиуравнения(1)разделимна31иполучимуравнениеравносильноеисходномууравнению.Уравнение(3),азначитиуравнение(1),имеетрешениевцелыхчислах,таккоэффициентывуравнении(3)при х иувзаимнопростыечисла.б)Найдемчастноерешениеуравнения(1).Преобразуемуравнение(1)(выразимучерезх)Уравнение(4),азначитиуравнение(1),имеетрешениевцелыхчислах,еслиЕслитоизуравнения(4)находим:чтоИтак,частнымрешениемуравнения(1)являетсяпарачисел2.Разложимнамножителичисла:Вуравнении(2)коэффициентыприхиуимеютобщиймножитель,равный37,носвободныйчленнеделитсяна37.Тогда,еслиобечастиуравнения(2)разделимна37,товполученномуравнениикоэффициентыприхиубудутвзаимнопростымичислами,асвободныйчленнеявляетсяцелымчислом.Поэтомууравнение(2)неимеетрешенийвцелыхчислах.Ответ.6.НайдитенаименьшееположительноецелоерешениеуравненияРешение.Разложимнамножители:Уравнение(1)имеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.Преобразуемуравнение(1) (выразимхчерезу)Числохявляетсяцелым,есликратно1969,тоестьеслисуществуетчислотакое,чтоИз(3) следует: у принимаетнаименьшееположительноезначение,равное2,еслиЕслитоизуравнения(2)находим,чтоПараявляетсянаименьшимрешениемуравнения(2),азначитиуравнения(1),таккак,еслитоизуравнения(2)следует,чтократно1969,еслиОтвет.7.НайдитевсецелыерешенияуравнениякоторыеудовлетворяютусловиямиРешение.Уравнение имеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Найдемобщеерешениеисходногоуравнения.а)Преобразуемуравнение(выразимучерезх)Таккактоуявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,чтоЕслитоизуравнения(1)находим:где.Такимобразом,общимрешениемисходногоуравненияявляетсяпарагде.2.Таккакигде,тоТаккак,торешениямипоследнейсистемыявляютсяТаккакитоискомымирешениямиисходногоуравненияявляютсяпарыОтвет.8.НайдитевсецелыерешенияуравнениякоторыеудовлетворяютусловиямиРешение.Уравнение имеетрешениевцелыхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Найдемобщеерешениеисходногоуравнения.Преобразуемуравнение(выразимхчерезу)Таккактохявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,чтогде.Еслитоизуравнения(1)находим:где.Такимобразом,общимрешениемисходногоуравненияявляетсяпарагде.2.Таккакгде,тоТаккак,то3.Найдемрешениясистемы(2).а)Найдемкорниуравнения:Таккаккорниуравненияторешенияминеравенстваявляютсяб)Найдемкорниуравнения:Таккаккорниуравнения,торешенияминеравенстваявляютсяв)Решениямисистемы(2)являютсяг)Таккак,изтого,чтоследует,что4.Найдемрешенияуравнения(1),еслигдеЕслитоеслитоеслитоеслитоИтак,искомымирешениямиуравненияявляютсяпарыОтвет.9.Найдитевсепарынатуральныхчисел,удовлетворяющихуравнениюРешение.Уравнение(1)имеетрешениевнатуральныхчислах,таккаккоэффициентыприхиувзаимнопростыечисла.1.Оценимнатуральноечислоу.Таккакнатуральноечисло,тоТогда2.Преобразуемуравнение(1)(выразимхчерезу)Таккакнатуральныечислаи126некратно23,точислоявляетсяцелым,есликратно23.Таккак,тократно23,еслиили3.Изуравнения(2)следует:еслитоеслитоОтвет.10.НайдитевсецелыерешенияуравненияРешение.Найдемобщеерешениеисходногоуравнения.Преобразуемуравнение(выразимхчерезуиz)Пустьгде.Тогдауравнение(1)принимаетвидТаккактоуявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,чтогдеТогдаизуравнения(2)находимТакимобразом,общимрешениемисходногоуравненияявляетсятройкачисел.гдеОтвет.где11.Найдитевсевозможныечисла,которыеудовлетворяютусловиюРешение.Отметим:таккакцифрычисла,то1.Имеема)Рассмотримуравнение(1)(выразимучерезхиz)Таккактоуявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,Изуравнения(2)находим,чтоб)Оценим,еслиТаккак,тоиздвойногонеравенства(3)следует,что2.Найдемчисла,если,гдеа) ЕслитоОценимх.Таккакитоб) ЕслитоОценимх.Таккактоизпоследнейсистемыследует,чтоТаккакитоОтвет.12.Найдитевсевозможныетрехзначныечисла,которыеприделениина27даетостаток,равный4,приделениина24даетостаток,равный7,априделениина162имеетодинаковыйостаток.Решение.1.ПоусловиюзадачикаждоеискомоетрехзначноечислохможетбытьпредставленоввидегдеТогда2.Найдемобщеерешениеуравненияа)Преобразуемуравнение(выразимnчерезm)Таккактоявляетсяцелымчислом,еслисуществуетчислотакое,чтоОтметим:таккакнадонайтичислох,томожноненаходить.б) Если,тоиз(1)находим,чтоТакимобразом,общимрешениемисходногоуравненияявляетсяпарагде3.Найдемтрехзначныечислагдекоторыеприделениина162имеетодинаковыйостаток.а)Таккакгдеитогдеб)ОценимТаккактрехзначноечислоитоТаккакто4.Найдемтрехзначныечислагдекоторыеприделениина162имеетодинаковыйостаток.ЕслитоеслитоеслитоеслитоЧислаиприделениина162имеютодинаковыйостаток,равный85.Ответ.и.13.Найдитеминимальноезначение,накотороеотличаютсядруготдруганатуральныечислаиеслидробьявляетсяпростымчислом.Решение.Таккактоисходнаядробьявляетсяпростымчислом,еслиТаккактотявляетсянатуральнымчислом,еслисуществуетчислотакое,что1)Еслитоизпервогоуравнениясовокупности(1)находим,что.ТогдаобщимрешениемуравненияявляетсяпарагдеЕслитогдеТаккактопринимаетминимальноезначение,равное3.2)Еслитоизвторогоуравнениясовокупности(1)находим,чтоТогдаобщимрешениемуравненияявляетсяпарагдеЕслитогдеТаккактопринимаетминимальноезначение,равное13.Из1)и2)следует:минимальноезначение,накотороеотличаютсядруготдруганатуральныечислаиравно3.Ответ.3.Диофантовуравнениявторогопорядка14.НайдитевсецелыерешенияуравненияРешение.1.Перепишемуравнение(1)какквадратноеотносительнох:а)Найдемдискриминантквадратногоуравнения(2):Итак,б)Найдем,корниквадратногоуравнения(2).2.Найдемцелыезначенияу,прикоторыхиявляютсяцелымичислами.а)Числоявляетсяцелымчислом,есликратно3.Преобразуем:Еслигде,тократно3.Итак,еслито,где.Такимобразом,решениемисходногоуравненияявляетсяпарагде.б)Числоявляетсяцелымчислом,есликратно2.Таккакнечетноечисло,тоонониприкакихцелыхзначенияхунебудеткратным2.Ответ.где.15.НайдитевсецелыерешенияуравненияРешение.1.Записываемуравнение(1)ввиде:Рассматриваетсямногочленкакквадратныйтрехчленотносительнох.а)Найдемдискриминантквадратноготрехчлена:Очевидно,полныйквадрат,еслиТакимобразом,получили,еслитоиб)Найдем,корниквадратноготрехчлена:в)Найдемразложениеквадратноготрехчленанамножители:Таккактоприлюбых,уравнение(1)равносильноуравнению2.Таккактоцелыечисла.Представляемчисло20ввидеДлякаждойпары:решаемвцелыхчислахсистемууравненийСистема(4)можетиметьрешениевцелыхчислах,есликратно5.Легкопроверить,чтоусловиекратно5выполняетсятолькодляпар3.Найдемрешениесистемы(4),еслиа)ЕслитоИзпервогоуравнениясистемы(4)находим,еслитоуравнениенеимеетрешенийвцелыхчислах.б)ЕслитоИзпервогоуравнениясистемы(4)находим,еслитоТаккакторешениемсистемы(4),азначитиуравнения(1),являетсяпараОтвет.16.Докажите,чтоуравнениеимеет решениевцелыхчислах.Решение.Чтобырешитьэтузадачу,надонайтихотябыоднорешениеуравнениявцелыхчислах.1.Перепишемуравнение(1)какквадратноеотносительноу:а)Найдемдискриминантуравнения(2):Представим,например,ввидеОчевидно,еслитополныйквадрат.Итак,еслитополныйквадрат.2.Найдемрешениеуравнения (1),еслиа)Еслитоуравнение(1)принимаетвидИтак,еслитоилиТогдарешениямиуравнения(1)являютсяпарыб)Еслитоуравнение(1)принимаетвидИтак,еслитоилиТогдарешениямиуравнения(1)являютсяпарыУравнение(1)имеетрешениевцелыхчислах.Найденочетырецелыхрешенияуравнения.Отметим: можнобылонайтитолькооднорешениеуравнения(1).Ответ.Уравнениеимеетрешениевцелыхчислах.3.2.Программафакультативногокурса«Диофантовыуравнения»ПояснительнаязапискаПредлагаемый факультативный курс охватывает вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой и более высоких степеней в целых (натуральных) числах. Работа со учениками в классе этого курса требует базового уровня знаний и навыков по школьной программе математики, а также умения выполнять операции с числами. Особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости в множестве целых чисел.Вопрос о нахождении целых (естественных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические проблемы сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными; эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад. Знание общих методов решения таких уравнений, называемых в математике диофантовыми, значительно расширяет математический кругозор учащихся, позволяет осознать необходимость изучения математики и, как следствие, ориентирует их на выбор математического (или естественнонаучного)) профиль в старших классах общеобразовательной школы.Факультативныйкурспредназначендляучащихся8-11классовиразбитнадваблока.Первыйблокпосещаютучащиеся8-9классов,авторойучащиеся10-11классов.В 8-9 классах занятия проходят один раз в две недели по 1 часу, в 10-11 классах - раз в неделю по 1 часу.Цель курса: расширение и систематизация знаний по теме «Решение диофантовых уравнений».Цели курса:Образовательные:• познакомить учеников с понятием диофантова уравнения и историей его появления в математических науках;• научить решать диофантовы уравнения с двумя переменными разными способами;• учат решать вербальные задачи, описывающие реальные (практические) ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения или их системы.Образовательные:• развивать интерес к математике, пытаясь использовать знания, полученные в междисциплинарных областях;• воспитание информационной культуры учеников.Развивающие:• развивать познавательный интерес к нестандартным и сложным заданиям, содержание которых выходит за рамки учебника;• Развитие логического мышления и умения находить нестандартные решения, алгоритмической культуры и интуиции;• Развивать навыки самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, командной работы, способности ставить, формулировать и решать проблемы.Основными формами организации реализации предложенной программы являются лекции, стажировки и семинары.Методика обучения, используемая при проведении класса - школьная лекция, история, беседа, метод практики.Формы обучения бывают как фронтальные, так и групповые, а также индивидуальные.Содержаниекурса8-9классыКтожетакойДиофант?Историяразвитиятеориидиофантовыхуравнений.Определениедиофантовауравненияпервойстепенисдвумянеизвестными.Решениедиофантовыхуравненийспособомпереборавариантов.Решениетекстовыхзадач.РешениедиофантовыхуравненийсиспользованиемалгоритмаЕвклида.Актуализациязнанийпотеме«Наибольшийобщийделитель.АлгоритмЕвклида».Решениезадач.Применениеметодаразложениянамножителиприрешениидиофантовыхуравненийпервойивысшихстепеней.Решениезадач.Применениеарифметикиостаткапринахождениицелыхрешенийдиофантовыхуравненийсдвумяиболеенеизвестными.Решениезадач.10-11классМетодрассеивания(измельчения)врешениидиофантовыхуравнений.Алгоритмрешениядиофантовауравненияметодомизмельчениякоэффициентов.Решениеуравнений.Решениетекстовыхзадач.Нахождениерешениядиофантовыхуравненийспомощьюцепныхдробей.Введениепонятияцепнойдроби.Алгоритмполученияцепнойдроби.Формулыцелыхрешенийдиофантовауравненияпервойстепенисдвумяпеременныминаосновепримененияцепныхдробей.Применениеметодаоценкиприрешениидиофантовыхуравнений.Сущностьметода.РешениеуравненийРешениедиофантовауравнениясдвумяпеременнымикакквадратногоотносительнооднойизпеременных.Решениедиофантовыхуравненийразличнымиспособами.Решениезадач,сводимыхкдиофантовымуравнениямилиихсистемам.Тематическоепланированиезанятийэлективногокурса№п/пТемазанятияКоличествочасовТеорияПрактикаВсего8-9класс1КтожетакойДиофант?1012-4Решениедиофантовыхуравненийспособомпереборавариантов.1235-7Применениеметодаразложениянамножителиприрешениидиофантовыхуравненийпервойивысшихстепеней.1238-10РешениедиофантовыхуравненийсиспользованиемалгоритмаЕвклида.12311-13Применениеарифметикиостаткапринахождениицелыхрешенийдиофантовыхуравненийсдвумяиболеенеизвестными.123ИТОГО:581310-11классы1-3Методрассеивания(измельчения)врешениидиофантовыхуравнений.1234-6Решениедиофантовыхуравненийсиспользованиемцепныхдробей.1237-9Применениеметодаоценкиприрешениидиофантовыхуравнений.12310-12Решениедиофантовауравнениясдвумяпеременнымикакквадратногоотносительнооднойизпеременных.123Таблица2Окончаниетаблицы213-16Решениедиофантовыхуравненийразличнымиспособами.04417-20Решениезадач,сводимыхкдиофантовымуравнениямилиихсистемам.134ИТОГО51520Даннаяпрограммарассчитанадляучащихся8-9классовна13часов,10-11классовна20часов.Большуючастькурсазанимаютзанятияпрактическогохарактера.Общеесодержаниеописанногокурсадляучащихсяявляетсяновым.Данныйфакультативныйкурспозволитучителюдонестидоучащихсяосновныеметодыиспособырешениядиофантовыхуравнений,которыевдальнейшемпригодятсяучащимсяприподготовкекЕГЭпоматематикеиолимпиадам.ЗАКЛЮЧЕНИЕПроанализировав периодическую и учебную литературу, мы пришли к выводу, что в настоящее время существуют различные способы решения диофантовых уравнений, алгоритмы которых легко запомнить.При решении диофантовых уравнений первой степени чаще всего используются следующие методы и приемы:• перечислить варианты;• Применение остаточного метода;• Применение метода диспергирования (измельчения).А для решения диофантовых уравнений высшей степени существуют другие методы, а именно: метод факторизации, метод оценки, решение уравнения с двумя переменными как квадратичного по одной из переменных.После изучения контрольного материала и контрольного измерения по математике составлены сборники экзаменационных заданий от следующих авторов: Л. Д. Лаппо, А. Я. Савельев, Ю.В. Садовничий, А.В.Шевкин, И.В., мы обнаружили, что целочисленные уравнения часто встречаются в экзаменационных задачах,прирешениикоторыхучащимсянеобходимопоказатьполнотусвоихзнанийиумениеприменятьнапрактикетеориюпотеме«Диофантовыуравнения».Также,задания,сводящиесякрешениюнеопределенныхуравнений,частовстречаютсянаразличныхшкольныхолимпиадахпоматематике.В связи с тем, что многие практические задачи сводятся к решению уравнений с двумя переменными, а диофантовы уравнения и методы их решения не изучаются в школьном курсе математики, поэтому мы разработали факультативный курс «Диофантовы уравнения» для школьников 8 - 9 и 10-11 классы. Цель курса - расширить и систематизировать знания по теме «Решение диофантовых уравнений». Учителя могут использовать его для подготовки учеников к экзамену по математике.Внеучебную деятельность следует сравнивать с основной областью математики. Для достижения такого сочетания рекомендуем использовать различные методические приемы: систематизацию, когда актуальная тема элективных курсов изучается только после накопления в основном курсе большого количества материала, непосредственно относящегося к ней;последовательное развитие теории, когда в основном курсе идет начальный этап ее построения, не доведенный до обобщающих результатов; подробное описание применения того или иного метода, если только упомянуто в основном курсе.Наиболее важной характеристикой факультативов по математике является их ориентация на практическое применение. Итак, планируя факультатив, выбирайте задания практического направления.

1. Абакумова, С. И. Диофантовы уравнения / С. И. Абакумова,
A. Н. Гусева // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. - 2014. - Т. 1, №6. - С. 133-137.
2. Александров, В. А. Задачник - практикум по теории чисел: для студентов заочников физ. - мат. фак. пед. ин - тов / В. А. Александров, С. М. Горшенин. - Москва : Просвещение, 1972. - 80 с.
3. Баврин, И.И. Старинные задачи: книга для учащихся / И. И. Баврин, Е. А. Фрибус. - Москва : Просвещение, 1994. - 131 с.
4. Барабанов, Е.А. Задачи заключительного тура минской городской математической олимпиады школьников / Е.А. Барабанов, И.И. Воронович,
B. И. Каскевич, С.А. Мазаник. - Минск : Ковчег, 2006. - 352 с.
5. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения /
И. Г. Башмакова. - Москва : Наука, 1972. - 68 с.
6. Белкин, Е. Л. Теоретические предпосылки создания эффективных методик обучения / Е. Л. Белкин // Начальная школа. - Москва, 2001. - № 4. -
C. 11-20.
7. Берлов, С. Л. Петербургские математические олимпиады / С. Л. Берлов, С. В. Иванов, К.П. Кохась. - Москва : Лань, 2003. - 532 с.
8. Бокарев, Н. Л. Некоторые классические диофантовы уравнения / Н. Л. Бокарев, Е. В. Буякова // Научно-методический электронный журнал концепт. - 2014. - Т. 26. - С. 56-60.
9. Брюно, А. Д. От диофантовых приближений до диофантовых уравнений / А. Д. Брюно // Чебышевский сборник. - 2016. - Т. 17, №3. - С. 38-52.
10. Бухштаб, А. А. Теория чисел : учебник для пед. вузов / А. А. Бухштаб. - Москва : Лань, 2008. - 384 с.
11. Васильев, Н. Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад / Н. Б. Васильев, А. А. Егоров. - Москва : Наука, 1998. - 288 с.
12. Васильев, Н. Б. Заочные математические олимпиады / Н. Б. Васильев, В. Л. Тутенмахер. - Москва : Наука, 1986. - 175 с.
13. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики : учеб. пособие для учащихся средней школы / Н. Я. Виленкин, И. Я. Депман. - Москва : Просвещение, 1996. - 320 с.
14. Власова, А. П. Решение уравнений в целых числах : учеб. пособие /
А. П. Власова, Н. В. Евсеева, Н. И. Латанова. - Москва : издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. - 68 с.
15. Галламов, М. М. Линейные диофантовы уравнения с дополнительными условиями / М. М. Галламов // Математическое образование. - 2012. -№2. - С. 9-23.
16. Давыдов, В. В. Принципы обучения в школе будущего : хрестоматия по возрастной и педагогической психологии / В. В. Давыдов. - Москва : Педагогика, 2002. - 138 с.
17. Дендеберян, Н. Г. Проектирование элективного курса по решению математических задач с практическим содержанием в средней школе / Н. Г. Дендеберян, Е. В. Кострыкина // Методический поиск: проблемы и решения. - 2016. - №1. - С. 39-43.
18. Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней / И. Ю. Жмурова, А. В. Ленивова // Молодой ученый. - 2014. - №9. - С. 1-5.
19. Избранные задачи по математике из журнала «American Mathematical Monthly» для школьных и студенческих олимпиад : сборник задач / Пер. с англ. / Под ред. и с предисл. В. М. Алексеева. - Москва : Едиториал УРСС, 2004. - 600 с.
20. Кирин, К. И. Цепные (непрерывные) дроби и диофантовы
уравнения : материалы XXII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции «Инновации. Интеллект. Культура» / К. И. Кирин. - Тюмень : издательство Тюменского индустриального
университета, 2015. - С. 279-281.
21. Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовы уравнения : материалы IV Всероссийской научно - практической конференции «Культура и общество: история и современность» / Ю. П. Кожаев, Ю. О. Новицка - Ставрополь : АГРУС. - 2015. - С. 150-154.
22. Кожегельдинов, С. Ш. Некоторые элементы теории диофантовых уравнений в упражнениях и задачах : учеб. пособие / С. Ш. Кожегельдинов. - Семипалатинск : Семей, 2003. - 83 с.
23. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1600 лет / Б. А. Кордемский // Квант. - 1973. - №4. - С. 38 - 41.
24. Корянов, А. Г. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) : пособие по решению заданий типа С6 / А. Г. Корянов,
A. А. Прокофьев. - Брянск, Москва : Просвещение, 2012. - 66 с.
25. Котлярова, Е. А. Методические особенности проведения спецкурса по теме «Диофантовы уравнения» / Е. А. Котлярова, О. Д. Роженко // Обучение и воспитание: методика и практика. - 2015. - №20. - С. 62-65.
26. Кузнецова, Л. В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П. Пигарев, С. Б. Суворова. - Москва : Дрофа, 2002. - 192 с.
27. Курбатова, Н. Н. Программа внеурочной деятельности по математике «Математика после уроков» / Н. Н. Курбатова // Молодой ученый. - 2016. - №16. - С. 343-351.
28. Лаппо, Л. Д. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Универсальные материалы с методическими рекомендациями, решениями и ответами : учебное пособие / Л. Д. Лаппо, М. А. Попов. - Москва : ЭКЗАМЕН, 2016. - 352 с.
29. Малинин, В. А. Подготовка учащихся 9-11 классов к математическим олимпиадам. Задачи с целыми числами : учеб. пособие /
B. А. Малинин. - Нижний Новгород : Нижегор. гуманитар. центр, 2000. - 69 с.
30. Мамедяров, Д. М. Оригинальное решение одного уравнения / Д. М. Мамедяров // Естественные и математические науки в современном мире. - 2014. - №24. - С. 30-36.
31. Мельников, Р. А. Краткий обзор этапов развития диофантовых
уравнений : материалы международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы
образования» / Р. А. Мельников. - Рязань : издательство РГУ им. С. А. Есенина, 2016. - С. 429-435.
32. Московские математические олимпиады 1993 - 2005 г. : сборник заданий / Р.М. Федоров и др./ Под ред. В.М. Тихомирова. - Москва : МЦНМО, 2006. - 456 с.
33. Письмо Министерства образования и науки Российской Федерации
«О методических рекомендациях по реализации элективных курсов» [Электронный ресурс] : федер. приказ от 04. 03. 2010 № 03-413 // Справочная правовая система «КонсультантПлюс». - Режим доступа:
http://www.consuttant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc&base=EXP&n=505578#0.
34. Письмо Минобразования России «Об элективных курсах в системе
профильного обучения на старшей ступени общего образования»
[Электронный ресурс] : федер. приказ от 13.11.2003г. № 14-51-277/13 //
Справочная правовая система «КонсультантПлюс». - Режим доступа: http://www.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc&base=EXP&n=450589#0.
35. Приказ Минобразования РФ «Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования» [Электронный ресурс] : федер. приказ от 09.03.2004 № 1312 (ред. от 01.02.2012) // Справочная правовая система «КонсультантПлюс». - Режим доступа: http://www.consultant.ru/document/cons doc LAW 47213/.
36. Петраков, И. С. Математические кружки в 8-10 классах / И. С. Петраков. - Москва : Просвещение. - 1987. - 135 с.
37. Рябухо, Е. Н. Формирование познавательной компетентности учащихся на факультативных занятиях по математике : материалы V Международной научно-практической конференции «Инновационные тенденции развития системы образования» / Е. Н. Рябухо, В. П. Ватутина. - Чебоксары : ООО Центр научного сотрудничества «Интерактив плюс», 2016. -
С. 57-61.
38. Савельев, А. Я. Решение задач С6 ЕГЭ по математике [Электронный
ресурс] / А. Я. Савельев // Центр Москва - Подготовка к ЕГЭ. - 2015. - Режим доступа: http://egecentt.com/ege-po-matematike/zadachi-c-6-po-matematike-ege-
2014-reshenie.
39. Садовничий, Ю. В. ЕГЭ 2017 по математике. Профильный уровень: задание 19. Решение задач и уравнений в целых числах / Ю. В. Садовичий. - Москва : ЭКЗАМЕН, 2017. - 129 с.
40. Симонов, Ф. Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике / Ф. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Экельман. - Москва : Просвещение, 2001. - 256 с.
41. Сканави, М. Н. 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы / М. Н. Сканави, В. К. Егерев, В. В. Зайцев и др. - Москва : ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2002. - 400 с.
42. Федеральный Закон «Об образовании в Российской Федерации» [Электронный ресурс] : федер. закон от 29.12.2012 № 273-ФЗ (с изменениями) // Справочная правовая система «КонсультантПлюс». - Режим доступа: http: //www.consultant.ru/document/cons doc LAW 140174/.
43. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. - 1996. - №6. - С. 15-21.
44. Хамов, Г. Г. Диофантовы уравнения как средство способствующее формированию мотивационно-ценностного компонента математического образования будущего учителя математики : материалы международной научной конференции «Теория и методика обучения и воспитания в России и за рубежом» / Г. Г. Хамова Л. Н. Тимофеева. - Киров : Международный центр научно-исследовательских проектов, 2014. - С. 118-124.
45. Хамов, Г. Г. Использование теории многочленов для составления и решения диофантовых уравнений / Г. Г. Хамова, Л. Н. Тимофеева // Ярославский педагогический вестник, 2014. - Т. 2, №4. - С. 36-40.
46. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике : учеб. пособие / И. Ф. Шарыгин. - Москва : Просвещение, 1987. - 113 с.
47. Шевкин, А. В. ЕГЭ задание С6 с решениями и ответами /
A. В. Шевкин, Ю. О. Пукас. - Москва : ЭКЗАМЕН, 2012. - 62 с.
48. Яковлев, Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников / Г. Н. Яковлев. - Москва : Просвещение, 1992. - 100 с.
49. Яковлева, Е.Н. Элективный курс «Диофантовы уравнения» как
предпрофильная подготовка учащихся 8-9 классов: материалы
Международной научно-практической конференции «Концепции
фундаментальных и прикладных научных исследований» / Е. Н. Яковлева,
B. С. Яричина. - Казань : НИЦ АЭТЕРНА, 2017. - Т.4, С. 13-15.
50. Якушева, Н. Э. О диофантовых уравнениях / Н. Э. Якушева,
C. В. Корнев // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - 2015. - №3. - С. 189-192.
51. Яричина, В. С. Диофантовы уравнения : материалы международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образовании» / В. С. Яричина. - Барнаул : издательство Алтайского университета, 2014. - С. 1843-1845.
52. Яричина, В. С. Применение диофантовых уравнений при решении олимпиадных задач и задач С6 в ЕГЭ по математике : материалы VII Международной научно-методической конференции «Преподавание естественных наук (биологии, физики, химии), математики и информатики в вузе и школе» / В. С. Яричина. - Томск : издательство ФГБОУ ВПО ТГПУ, 2014. - С.59-63.
53. Ященко, И. В. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 21. Арифметика и алгебра / И. В. Ященко, Г. И. Вольфсон, М. Я. Пратусевич - Москва : Издательство МЦНМО, 2015. - 102 с.
54. Ященко, И. В. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И. В. Ященко. - Москва : Экзамен, 2016. - 157 с.
1. Зверев Ы. Д. Проблемы факультативных занятий в средней школе // Сов. Педагогика. – 1971. – № 4. – С. 43-50. 2. Корнеев В. П. Основы развития познавательных интересов // Родная школа, 1993. – № 5. – С. 36-40. 3. Саркисян Е. А. Внекласные и факультативные занятия в современной общеобразовательной школе. – Ереван: ЛУНС, 1987. – 196 с

Вопрос-ответ:

Как развивалась теория диофантовых уравнений?

История развития теории диофантовых уравнений начинается со времен античности, когда греческий математик Диофант Александрийский впервые сформулировал задачи нахождения целочисленных решений уравнений. В дальнейшем эта теория развивалась благодаря работам таких математиков, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и многих других. Основные методы решения диофантовых уравнений были разработаны в XIX веке.

Что такое диофантовы уравнения?

Диофантовы уравнения - это уравнения, в которых требуется найти целочисленные решения. В общем виде они выглядят как a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b, где a₁, a₂, ..., aₙ, b - целочисленные коэффициенты, x₁, x₂, ..., xₙ - неизвестные целочисленные переменные. Диофантовы уравнения могут иметь различные типы и сложность в зависимости от своих коэффициентов и структуры.

Какие типы и способы решения диофантовых уравнений?

В теории диофантовых уравнений существуют различные типы и способы их решения. Например, существуют методы решения линейных диофантовых уравнений, методы решения биквадратных диофантовых уравнений, методы решения однородных уравнений и др. В зависимости от типа уравнения и его коэффициентов применяются соответствующие методы и приемы для поиска целочисленных решений.

Что такое факультативный курс и как он вводится в школьное образование?

Факультативный курс - это дополнительное образовательное предложение, которое школьники могут выбрать в своем учебном плане. Он не является обязательным и позволяет углубить знания в определенной предметной области, например, в математике. Введение факультативных курсов в школьное образование происходит путем разработки программы и расписания занятий, а также путем организации уроков или занятий в форме кружка или секции.

Что такое Диофантовы уравнения?

Диофантовы уравнения - это уравнения, решение которых требует нахождения целочисленных или рациональных значений неизвестных.

Как развивалась теория диофантовых уравнений?

Теория диофантовых уравнений развивалась на протяжении многих веков, начиная с работ Диофанта Александрийского в III веке и заканчивая современными исследованиями в этой области.

Какие типы диофантовых уравнений существуют?

Существуют различные типы диофантовых уравнений, например, линейные, квадратные, показательные и дробные уравнения. Каждый тип имеет свои особенности и способы решения.

Зачем ввести факультативный курс по теме Диофантовы уравнения для школьников?

Введение факультативного курса по теме Диофантовы уравнения позволит школьникам расширить свои знания в области математики и развить навыки решения сложных задач. Это также поможет школьникам в построении логического мышления и аналитических навыков.

Как факультативный курс по теме Диофантовы уравнения может быть полезен в общем образовательном процессе?

Факультативный курс по теме Диофантовы уравнения может помочь школьникам более глубоко погрузиться в изучение математики и развить интерес к этому предмету. Он также может быть полезен для тех, кто планирует связать свою будущую профессию с наукой или технологиями.