Евклидовы пространства

Такие матрицы получили название симметрические матрицы.[3]Если – координатные столбцов векторов в базисе , то справедливо:Матрица Грама, которая построена по системе векторов имеет следующий вид:Рассмотрим связь матрицы Грама разных базисов.Предположим, есть два базиса и , эти базисы связаны между собой матрицей перехода , это значит следующее:– координатные столбцы векторов .Тогда :Если подставить эти равенства в формулу и использовать то, что , то получаем:С иной стороны Если учитывать это, то тогда получим:Рассмотрим теперь примеры Евклидовых пространств и ортогональных базисов.Пример 1 𝑛-мерное вещественное пространство . Элементы – системы вещественных чисел – образуют линейное векторное пространство со скалярным произведением:Ортогональный нормированный базис в :Пример 2 Пространство с элементами:со скалярным произведением Абсолютная сходимость этого ряда следует из сходимости рядови из неравенства Коши-Буняковского(по критерию Коши сходимости рядов). Свойства 1) – 5) скалярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональный базис в :Проверим полноту этой системы. Пусть– любой вектор из и . Тогда – это линейная комбинация и при этом при . Пример 3 Пространство , состоящее из непрерывных действительных функций, со скалярным произведением(5)Важный ортогональный базис – тригонометрическая система, состоящая из функций(6) Ортогональность проверяется непосредственно. На отрезке получаем тригонометрическую систему: . Система (6) полна. Действительно, по теореме Вейерштрасса, всякая непрерывная на отрезке функция , принимающая на концах отрезка одинаковые значения, может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов, т. е. линейных комбинаций элементов системы (6). Такая последовательность сходится к функции по норме пространства . Если же 𝑓 – произвольная функция из , то ее можно представить как предел (по норме ) последовательности функций , каждая из которых совпадает с на отрезке , линейная на и имеет в точке значение . Следовательно, можно приблизить сколь угодно точно (в метрике ) линейными комбинациями системы (6).[4]2 Примеры задачПосле того как мы провели исследование о том, что из себя представляет Евклидово пространство, то необходимо подкрепить теоретически полученные знания с помощью практических заданий.Задача1.Базис является ортонормированным. Составить матрицу Грама в базисе .Решение:Базис - ортонормированный, следовательно, , .Находим матрицу Грама в базисе :Задача 2. Матрица Грама в базисе имеет вид 1) Найти длины базисных векторов и угол между ними.2) Найти длины векторов и угол между ними.Решение:1) Находим длины базисных векторов и их скалярное произведение:Отсюда находим угол между базисными векторами:2) Находим длины векторов и их скалярное произведение:Отсюда находим угол между векторами:Задача 3. Найти длины векторов и угол между ними, если матрица Грама в базисе имеет видРешение:Находим длины векторов и их скалярное произведение:Отсюда находим угол между векторами:Задача 4.Ортогонализовать базис , матрица Грама в котором имеет видРешение:Ортогонализуем данный базис методом Грама-Шмидта:Получаем ортогональный базис .Задача 5.Оператор переводит векторы ортонормированного базиса в векторы . Является ли он ортогональным?Решение:Матрица данного оператора имеет вид:Оператор ортогонален, если его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Проверяемортогональностьматрицы:Условия ортогональности матрицы выполнены – данный оператор является ортогональным.Задача 6. Является ли ортогональным оператор, имеющий в некотором ортонормированном базисе матрицу Решение:Оператор ортогонален, если его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Проверяемортогональностьматрицы:Условия ортогональности матрицы выполнены – данный оператор является ортогональным.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ начале нашего исследования были поставлены следующие задачи, которые и определили цель нашей работы:1) Изучить и исследовать что такое линейные пространства;2) Понять, как связаны линейные и Евклидовы пространства;3) Рассмотреть вопрос об Евклидовых пространствах с разных точек зрения математики;4) Изучить вопрос об Евклидовых пространствах с практической точки зрения, а именно привести примеры решения задач на тему курсовой работы.В ходе выполнения данного исследования было проанализировано множество пособий по теме курсовой работы.Каждой задаче был посвящен отдельный пункт курсовой работы.Так же в ходе выполнения лабораторной работы была затронута тема линейных пространств, данная тема была описана в 1 главе так как Евклидово пространство является линейным пространством.Если сказать более кратко, то Евклидово пространство – это пространство свойства которого описываются аксиомами Евклидовой геометрии. В данном контексте предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, т.е. является трехмерным.Евклидовы пространства очень важны для классической механики, так как классическая механика дает предположение о том, что вселенная – это Евклидово пространство.Классические теории поля находятся в Евклидовом пространстве. Если, например переходить к общей теории относительности, то роль Евклидовой геометрии и Евклидового пространства становится более тонкой. Искривление пространства выглядит как Евклидово пространство.Т.е., иными словами, можно сказать, что роль Евклидового пространства очень велика для нас и задевает многие аспекты науки.СПИСОК ИСПОЛЬЗКЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Math – EuclideanSpace. URL: https://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/euclidean/index.htm. (Дата обращения: 25.11.2021)2. Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения. URL:https://lfirmal.com/lineynye-i-evklidovy-prostranstva/#Линейные_и_евклидовы_пространства. (Дата обращения: 25.11.2021)3. Логинов, В.Н. Линейная алгебра. Линейные и евклидовы пространства, линейные отображения и преобразования: учебное пособие / В.Н. Логинов, З.В. Широкова. – Комсомольск на Амуре: ФГБОУ ВПО «КнАГТУ», 2015.-152 с.4. Чепыжов, В.В. Математический анализ. Лекции 2 семестр. /Чепыжов В.В. – ВШЭ. -2017 г. -46 с.5. Euclidean space. URL: https://ncatlab.org/nlab/show/Euclidean+space. Дата обращения: (27.11.2021)6.Euclideangeometry.URL: https://www.britannica.com/science/Euclidean-geometry. (Дата обращения 28.11.2021)