Поверхностные интегралы 1 и 2 рода формулы гаусса Остроградского и Стокса

Для интеграла уравнение поверхности .ТогдаПолучимгде - круг x2+y2 ≤ a2.Для вычисления двойного интеграла перейдем в полярную систему координат: x=ρcosφ, y= ρsinφ (0 ≤ φ≤ 2π; 0 ≤ ρ≤ a)ТогдаАналогично вычисляем, чтоИскомый интеграл будет равенПример 2. Вычислить поверхностный интеграл первого родагде Sесть часть плоскости , ограниченной координатными плоскостямиРешение: Поверхность задается уравнениемТогдаПроекция поверхности на плоскостиx0y является треугольником , ограниченной кривыми x=0; y=0; Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл первого родагде S является полусферой Решение: Данная поверхность есть часть сферы радиуса 2, лежащая в полупространстве x ≤ 0. В сферической системе координат x=ρ×cosφ×sinΘ, y= ρ×sinφ×sinΘ, z = ρ×cosΘТак как точка принадлежит заданной в условии половине сферы, то угол φ меняется в пределах от π/2 до 3π/2(π/2 ≤ φ≤ 3π/2), а угол Θ от 0 до πЗапишем уравнения в полярной системе координатx=2cosφ×sinΘ, y= 2sinφ×sinΘ, z = 2cosΘТо же самое в векторной форме будет иметь видВычисляем векторное произведение этих векторовМодуль векторного произведения2.2 Примеры вычисления поверхностных интегралов второго родаПример 4. Вычислить поверхностный интеграл второго родагдеS – внешняя сторона полусферы сфераx2+y2+z2=a2(z ≥ 0)Решение: Найдем направляющие косинусы вектора нормали к поверхности.Так как , тогда частные производные равныНаправляющие косинусы Согласуем знак со стороной поверхности: выберем произвольню точку на поверхности, например точку с координатами (0,0,a), где a ≥ 0; согласно условию задачи интегрируем по внешней стороне полусферы, т.е. вектор нормали в выбранной точке имеет координаты (0,0,1), таким образом необходимо выбрать знак плюс. Окончательно получаемЧтобы перейти к двойному интегралу, запишем уравнение поверхности в явном виде и выполним промежуточные вычислениягде - круг x2+y2 ≤ a2.Для вычисления двойного интеграла перейдем в полярную систему координат: x=ρcosφ, y= ρsinφ (0 ≤ φ≤ 2π; 0 ≤ ρ≤ a)Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго родагде S – нижняя сторона части конуса, при 0 ≤ z ≤ 1Решение: Переходя к полярной системе координат получимПример 6: Вычислитьгде S – внешняя сторона верхней половины сферыРешение: Так как радиус сферы, проведенной в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в видеТогдаПример7. Вычислить , где σ – внутренняя сторона части полусферы , вырезанная конусом .Решение: Так как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, составляет с положительным направлением оси 0x тупой угол, в формуле для определения интеграла необходимо взять знак минус.Так как S3 есть круг (получено из уравнений и ), то переходя к полярным координатам, находимИтак, 2.3 Другие примеры, связанные с вычислением поверхностных интеграловПример 8. Найти координаты центра тяжести однородной параболической оболочки az=x2+y2 (0 ≤ z≤ a)Решение: так как ось материальной симметрии оболочки совпадает с осью 0z,то центр тяжести располагается на оси 0z , следовательно координаты центра тяжести xc =0, yc =0 и требуется найти только координату zc . Так как уравнение поверхности имеет видВычислим массу поверхности. Запишем соответствующий двойной интеграл по проекции поверхности на плоскость 0xy и, так как эта проекция является кругом x2+y2 ≤ a2, то перейдем к полярным системе координат (x=ρcosφ, y= ρsinφ; 0 ≤ φ≤ 2π; 0 ≤ ρ≤ a)Перейдем к вычислению координаты центра массПример 9. С помощью формулы Остроградского вычислитьгде S – внешняя сторона поверхности куба0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a, Решение: Найдем соответствующие частные производные первого порядкаТогда искомый интеграл равенЗаключениеВ настоящей работе изучена теория поверхностных интегралов и методов их вычисления, рассмотрен ряд примеров и показано решение заданий с поверхностными интегралами первого и второго рода.Курсовая работа содержит указания по решению интегралов первого и второго рода и может быть использовано в качестве пособия в помощь студентам и может быть интересно для преподавателей технических вузов.В работы даны основные определения и формулировки, теоремы стокса и Гаусса-Остроградского.В результате выполненной работы повышен уровень теоретических знаний по математическому анализу, и приобретены навыки в решении задач, связанных с вычислением поверхностных интегралов.Список литературыВысшая математика: учебное пособие / В.И. Белоусова, Г.М. Ермакова, М.М. Михалева, Н.В. Чуксина, И.А. Шестакова. - Екатеринбург : Изд-во Урал.ун-та, 2017. - часть II. - 300 с.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1975. -872 с.Справочник по высшей математике /А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. – Мн.: ТетраСистемс, 1999. – 640 с.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. - М. : Наука, 2005. - 443 с.Бермант А.Ф. Курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. — СПб. : Изд-во «Лань», 2005. - 736 с.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб.пособие для вузов / Б.П. Демидович. - М. : АСТ: Астрель, 2009. – 558с.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. - М. :Эдиториал УРСС, 2012. Т. 4. -352 с. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. М. :Юнимедиастайл, 2002. 384 с.Табуева В.А. Математика. Математический анализ. Специальныеразделы : учеб.пособие / В. А. Табуева. 2‑е изд. (стереотип). - Екатеринбург :УГТУ-УПИ, 2004. - 495 с.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах / В.Д. Черненко. - СПб. : Изд-во «Политехника», 2003. -703 с