Модели и методы портфельного инвестирования

Как были вычислены значения 0.34 и 137.894? Получить выражение для вероятности р довольно просто, но для условного математического ожидания Е [ST|ST > X] это сделать значительно труднее.
Мы ограничимся тем, что выведем правило для вычисления вероятности, а для условного математического ожидания просто сформулируем окончательный результат. Соединив два эти выражения, мы получим формулу модели Блэка-Шоулса.
Нахождение вероятности р того, что цена основных активов в день погашения превысит некоторую критическую цену X, равнозначно нахождению вероятности того, что доходность за этот срок превысит соответствующее критическое значение гX. В такой формулировке задача становится проще, поскольку доходность подчиняется нормальному распределению, а с нормальным распределением работать легче, чем с логарифмически нормальным. Так как доходность была определена как логарифм ценового отношения, поэтому искомая вероятность р определяется равенством
p=Prob{ST>X}=Prob{=Prob{Доходность > ln(X/S0), (4)
где S0 — начальная цена основных активов.
Вероятность того, что значение нормально распределенной величины х превысит некоторое критическое значение xcrit, выражается следующей общей формулой:
Prob[x> xcrit ]=1 – N [( xcrit -- m *) / s *], (4')
где m *— среднее значение величины х, s * — стандартное отклонение х
N(-) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чтобы воспользоваться соотношением (2), нам нужно найти m * и s * — среднее значение и стандартное отклонение доходности. Равенство (2) дает нам выражение для среднего ожидаемого значения ценового отношения ST/S0. Если мы определим величину г соотношением r = m +0.5s 2, то равенство (2) запишется в более простом виде:
E [ln S t / S 0 ] = ert (5)
Введенная величина г— не просто удобное обозначение для выражения ц + 1/2s 2, — это как раз и есть непрерывно начисляемая безрисковая сложная процентная ставка. Может показаться удивительным, что для оценки таких явно рисковых вложений, как опционы, применяется именно эта ставка. Объяснение использует так называемый метод нейтрализации риска.
В основе метода нейтрализации риска лежит возможность построения безрискового портфеля за счет сочетания в определенной пропорции опциона и основных активов. Безрисковый портфель — это такой портфель, который обеспечивает один и тот же финансовый результат при любых обстоятельствах, и поэтому все будущие потоки наличности нужно лишь дисконтировать по безрисковой процентной ставке. При таком портфеле предпочтения инвестора в отношении структуры риска роли не играют, и портфель будет оцениваться одинаково и инвестором, нейтрализующим риск, и инвестором, избегающим риска. Поскольку проще оценить портфель, исходя из безрисковой ставки, которой пользуется нейтрализующий риск инвестор, мы так и поступим. Заметьте, что нейтрализация риска вовсе не означает, что цены всех финансовых активов будут расти в соответствии с безрисковой ставкой из соотношения (5). Утверждается лищь, что цена опциона получится одной и той же независимо от того, будем мы пользоваться безрисковой ставкой или какой-то другой, более высокой процентной ставкой. Выбор более высокой ставки означал бы ожидание более быстрого роста цен основных активов, однако при этом и выплаты по опциону на эти активы придется дисконтировать назад по более высокой ставке, и эти два эффекта друг друга погасят. На вопрос можно взглянуть с другой точки зрения, вспомнив, что цена опциона пропорциональна цене основных активов. Если цену активов и цену исполнения увеличить вдвое, то цена опциона также удвоится. Если бумага падает в цене из-за того, что инвесторы дисконтируют будущие потоки наличности по повышенной ставке, то и цена опциона в силу ее пропорциональности также должна упасть. Иначе и не может быть. Инвесторы обязаны быть последовательными, и должны дисконтировать будущие потоки наличности по опциону по той же самой повышенной ставке. Равенство (3) теперь принимает вид
E [ln S t / S 0 ] = m t= (r-- 1/2s 2)t= m*,
что дает выражение для средней ожидаемой доходности m*. Стандартное отклонение доходности определяется соотношением (1) и равно s t. Из соотношений (4) и (4’) получаем: Prob [ST > Х] = Prob [доходность > In X/S0]=1— N (In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ].
Из симметрии нормального распределения следует, что 1 -N(d) = N(-d), поэтому
p=Prob [ST > Х]= N (In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ]. (6)
Подставив числовые значения из предыдущего примера, получим уже указанное ранее значение вероятности р: `Prob[ST>Х]=N(ln100/120+(0.12-0.20x0.20/2)x1)/0.20=N(-0.4116)=0.34
Чтобы найти выражение для величины Е [ST-| ST > X], нужно проинтегрировать функцию логарифмически нормального распределения в пределах от Х до бесконечности . Если проделать это, то в результате получится:
Е [ST-| ST > X]= S0ert N(d1) / N(d2), (7)
где d1 = In [{ X/S0 +(r+ 1/2s 2)t}/s t ] и d2= . In [{ X/S0 +(r-- 1/2s 2)t}/s t ]
Подставляя (6) и (7) в равенство (3), приходим к окончательной формуле для колл-опциона:
C=N(d1) e-rt ( S0 ert N(d1) / N(d2) -X),
или C=S0N(d1) -- X e—rt N(d2)
Это и есть формула знаменитой модели Блэка-Шоулса. Справедливая цена колл-опциона может быть вычислена с помощью всего одной формулы. Как явствует из предыдущих рассмотрений, данную формулу можно интерпретировать как способ нахождения ожидаемой текущей стоимости опциона в предположении, что цены подчиняются логарифмически нормальному распределению.
Глава 3 Методы решения задач портфельного инвестирования
Метод множителей Лагранжа. Целесообразность применения множителей Лагранжа для решения задач портфельного инвестирования
Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности. Одним из методов оптимизации портфеля является диверсификация Марковица. Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе – функция Лагранжа. Пусть имеются n видов ценных бумаг, из которых инвестор хочет сформировать портфель. Необходимо найти i x , минимизирующие риск портфеля при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля , т.е




Поскольку i x — доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Таким образом, получаем задачу оптимизации портфеля:


Если опустить условия не отрицательности долей, то получим собственно задачу Марковица, которую можно решить в общем виде. Пусть T вектор долей ценных бумаг. V = - матрица корреляции T - вектор доходностей ценных бумаг T - единичный вектор. Тогда задача принимает вид:



(а)
Используя функцию Лагранжа, мы можем получить аналитическое решение
(а)

где I, ,

Важно отметить, что при решении задачи были отброшены условия неотрицательности долей. Это означает, что, воспользовавшись формулой (a) можно получить отрицательные доли. Такая ситуация возможна, если инвестор готов совершить так называемую операцию Short Sale. В этом случае необходимо занять акций, которые вышли с отрицательными долями, продать их, а полученные деньги вложить в акции с положительными.
Методы квадратичного программирования. Метод Вульфа
В случае если операция Short Sale недопустима, условия неотрицательности убирать нельзя, и мы получаем задачу квадратичного программирования,


(б)
которую в общем виде решить нельзя и приходится прибегать к численным методам.. Учитывая тот факт, что все ограничения задачи являются линейными. Эта особенность является основой для замены в окрестности исследуемой точки нелинейной целевой функции линейной. В данной работе предлагается в качестве численного метода выбрать алгоритм Франка Вульфа, который сводит решение задачи квадратичного программирования к решению последовательности задач линейного программирования. Для этого необходимо найти первоначальное допустимое значение = ()T Допустимое решение найдем из системы:


учитывая условия неотрицательности. Для этого среди инструментов выделим два, у которых доходность больше (у первого) и меньше (у второго) чем ожидаемая доходность. Пусть эти инструменты имеют индексы i1 и i2 соответственно. Тогда в качестве допустимого начального значения возьмем вектор x с компонентами xi = 0 при i ≠ i1, i2 ,
и
Очевидно, что такое значение вектора x удовлетворяет, как системе ограничений, так и условиям неотрицательности компонентов. После этого находится градиент функции риска в этой точке , строится линейная функция

находится ее минимум при ограничениях (б), используя методы линейного программирования. В качестве точки x1 берется решение этой задачи. Последовательность решения задач линейного программирования продолжается, пока
Необходимо отметить тот факт, что при допустимости операции Short Sale теоретически мы можем получить любую желаемую доходность, за счет использования возможности привлекать дополнительных средства, одалживая акции и продавая их (фактически доходность естественно ограничена, поскольку инвестор может занять лишь определенное количество средств, напрямую зависящее от имеющихся у него финансовых активов). При запрете этой операции инвестор не может получить доходность больше, чем максимальная доходность инструментов-кандидатов на включение в портфель, а также меньшую, чем минимальная доходность среди акций-кандидатов. Таким образом, мы всегда можем найти инструменты, для нахождения первоначального допустимого значения.
Методы решения систем алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Пусть исходная система выглядит следующим образом
, , (в)

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками эту систему можно привести к трапециальному виду:


Переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если , то рассматриваемая система несовместна.
Предположим, что . Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):

(г)
где
Если свободным переменным системы (г) придавать все возможные значения и вычислить через них главные переменные, то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (в), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях полученное нами решение является решением системы (в). Упомянутое выше условие может быть формулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности: Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки. Этот метод опирается на: Теорему (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. В простейшем случае алгоритм выглядит так:

Прямой ход:

Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.
Глава 4 Разработка алгоритма и программы решения задачи портфельного инвестирования методом множителей Лагранжа
Разработка информационной системы, UML–диаграмма базы данных
Требования к разрабатываемой системе
Анализ модели Марковица и ее практическое применение, выявил следующие функциональные требования к информационной системе ее реализующей.
Информационная система, далее по тексту ИС, должна давать возможность пользователю создавать портфель ценных бумаг, т.е. в интерфейсе системы должен быть предусмотрен управляющий объект, посредством которого пользователь мог осуществить выбор из котирующихся на рынке ценных бумаг.
ИС должна хранить историю котировок ценных бумаг.
ИС должна уметь рассчитывать на основе данных о котировках и введенных пользователем параметров оптимальный портфель ценных бумаг, используя модель Марковица,
ИС должна уметь рассчитать количество акций, которое инвестор должен приобрести, опираясь на вычисленные доли акций в портфеле.
Use-Case диаграмма бизнес-процесса.
Информационная система автоматизирует процесс формирования оптимального портфеля. Его можно условно разбить на три подпроцесса.
Подбор ценных бумаг в портфель.
Расчет оптимальной доли ценных бумаг
Рассчет количества ценных бумаг.
На рисунке 7 представлена Use-Case диаграмма процесса формирования портфеля.
На рисунке 8 представлена диаграмма деятельности. Она показывает последовательность действий пользователя с информационной системой.
Сущности предметной области, ER- диаграмма
Инфологический анализ предметной области выявил следующие сущности:
Акции – это список всех эмитентов акции, которых котируются на бирже РТС, идентификатором служит код акции и в системе РТС.
Котировки акций – это история цен акций на определенную дату. В качестве идентификатора также используется код акции в РТС.
Портфель акци - это список акций, выбранный инвестором в качестве объектов инвестирования.
На рисунке 8 изображена er-диаграмма ИС, выполненная средствами MS Access 2007.

Таблицы обозначены прямоугольниками, в шапке прямоугольников, названия этих таблиц. Связи обозначены кривой линией, концы которой соединяют связанные поля. Значком ключа обозначены ключевые поля таблиц. Между сущностью акции и котировки акций связь один ко многим, так как котировки акции содержит множество значения цены акций на различные даты. Между сущностью котировки акций и портфель связь многие к одному, смысл ввода этой связи в том чтобы пользователь не мог выбрать в портфель акции для которых нет истории котировок.
Даталогическая модель базы данных ИС
Даталогическая модель информационной системы выполнена в приложении enterprise architect (рис. 9), это всесторонний набор UML инструментов для анализа и дизайна, охватывающий разработку программного обеспечения через стадии анализа, модели дизайна, испытания и обслуживание. Даталогическая модель построена на основе ER – диаграммы, и содержит реализацию таблиц БД в терминах конкретной СУБД. В качестве СУБД для информационной системы выбрана Microsoft Office Access 2007, она проста в реализации и идеально подходит для нашего небольшого однопользовательского приложения. Таблицы Акции и Котировки акций связаны между собой по полю TICKER тип связи один ко многим, т.к в таблице Котировки акций хранится история значения цены на каждый день. Между таблицами Котировки акций и портфель акций связь многие к одному, т.к портфель может состоять только из одной акции каждого типа. Эта связь обеспечивает невозможность выбора акций в портфель по которым нет сведений о котировках. Описание таблиц БД и типы данных полей в таблицах 1-3.
Таблица базы данных Акций
Таблица № 1
Наименование поля Тип данных Комментарий № Counter Ключевое поле. СУБД производит автоинкремент этого поля при вводе новой записи. Эмитент Текст Название эмитента TICKER Текст Код акции в системе РТС Таблица базы данных Котировки акций
Таблица № 2
Наименование поля Тип данных Комментарий Код Counter Ключевое поле. СУБД производит автоинкремент этого поля при вводе новой записи. TICKER Текст Код акции в системе РТС DATEK Long Integer Дата представленная в виде числа. CLOSE Cyrrency Цена акции на соответствующую дату




Таблица базы данных Портфель акций
Таблица № 3
Наименование поля Тип данных Комментарий TICKER Текст Код акции в системе РТС РекомендуемаяДоля Double Вычисленная доля акций в оптимальном портфеле. Количество Long Integer Вычисленное количество акций в оптимальном портфеле



Блок-схемы алгоритмов основных расчетных функций
Блок–схема процедуры «РасчетДолей»













































Блок–схема расчетная функция «РасчетДоли»





























Блок–схема расчетная функция «РасчетКоличестваАкций»




























4.2 Экранные формы приложения
На рисунке 10 представлена главная экранная форма приложения. Экранные формы используются для интерактивного взаимодействия с пользователем и вывода отчетов о результатах работы программы. Главная форма “Портфель акций и расчеты”– это основная форма программы все другие формы являются подчиненными главной форме. В главной форме отображается сформированный пользователем портфель и его основные характеристики. На главной форме пользователь выбирает акций эмитентов. Также на главной форме пользователь задает период анализа, сумму имеющихся у него средств и желаемую доходность.

Глава 5 Разработка тестового примера с использованием данных торгов «голубых фишек»
База данных программы содержит результаты торгов акциями за весь периоды проведения торгов. Для проверки корректности ее работы необходимо выбрать на акциях каких эмитентов будет производится тестирование.



Эти инструменты выбираются инвестором из личных предпочтений, основанного, например, на графике риск-доходность. После этого следует установить параметры портфеля желаемую доходность и период, за который эту доходность инвестор ожидает получить, а также временной интервал, статистику по которому программа возьмет за основу.
Поскольку теоретически полученное соотношение на практике достичь достаточно трудно, то дальше пользователю предоставляется возможность задать сумму, которую он готов инвестировать в ценные бумаги и программа рассчитает портфель уже в количестве акций, который необходимо приобрести.
На этой форме пользователь имеет возможность дополнительно отредактировать количество акций, причем в нижней части формы будет отражен риск и доходность сформированного таким образом портфеля. Так же, для сравнения, здесь приведены расчетные значения риск/доходность.

Для проверки корректности работы программы был создан лист Excel, который вычисляет тот же портфель что и созданное приложение результат вычислений изображен на рисунке 12. Результаты совпадают соответственно программный код приложения корректен.

.
Рис. 12. Лист Excel



Заключение
Недостаток метода формирования портфеля Марковица, из-за которого проблематично было применять эту методику на практике. Это большое количество расчетов, которое необходимо выполнять, следуя этой методике. А из-за постоянно меняющейся, рыночной ситуации эти вычисления нужно часто повторять, чтобы актуализировать свойства портфеля и принимать решение об изменении его качественного и количественного состава.
Разработанная многоуровневая информационная система решает данную проблему. Она позволяет на основе аналитической обработки данных, оперативно формировать оптимальный инвестиционный портфель ценных бумаг в условиях различных финансовых возможностей инвестора и с различными сочетаниями доходности и риска.

Список литературы
Евстигнеев В.Р. Портфельные инвестиции в России: выбор стратегии. – М.: Эдиториал УРСС, 2002
Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Советское Радио, 1973
Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. –М.: Информационно-издательский дом «Филин», 1998.
В.В. Кириллов Основы проектирования реляционных баз данных Учебное пособие
Крянев А.В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. – М.: МИФИ, 2000.
Кюнци В.Ф., Креле М.С. Нелинейное программирование, - М.: Советское радио, 1961.
Муртаф Б. Современное линейное программирование. - М.: Мир, 1984.
Нурминский Е.А., Ащепков Л.Т., Трифонов Е.В. Математические основы теории финансовых рынков. –Владивосток.: Дальневост. Ун-та, 2000.
Пропой А.И., Ядыкин А.Б. Параметрическое квадратичное и линейное программирование. - Автоматика и телемеханика, 1978.
Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967.












55


доход

(p

mp

I1

I2

I3

а) Инвестор с высокой степенью избегания риска

(p

mp

I2

I1

I3

б) Инвестор со средней степенью избегания риска

(p

mp

I3

I2

I1

в) Инвестор с низкой степенью избегания риска

*

mp

(p

I1

I2

I3

Рис. 4 – Выбор оптимального портфеля.



Рис. 5. Рыночные риски

Рис. 6. Логарифмически нормальное распределение для исходов, при которых опцион является выгодным

Рис. 10. Главная экранная форма приложения

Рис. 9. Даталогическая модель БД

Да

Нет

Последовательная выборка записи таблицы «Портфель акций»

Начало
(Нажата кнопка «Рассчитать доли» на форме «Портфель акций и расчеты»)
Параметры: нет

Достигнут конец таблицы
«Портфель акций»

Присвоить полю «РекомендуемаяДоля» таблицы «Портфель акций» результат работы функции «РасчетДоли»

Вызов функции «РасчетДоли»
Параметры:ДатаНач,ДатаКон,
КодАкции

Выход из процедуры

Начало
(Вызов из процедуры «РасчетДолей») Параметры:ДатаНач,ДатаКон,КодАкции

Запрос из таблицы «Котировки» для расчета отклонений цены акции за период с ДатаНач по ДатаКон

Вычисление доли акции, которую необходимо приобрести

Конец
Возвращаем вычисленную долю в вызывающую процедуру.

Последовательная выборка записи таблицы «Портфель акций»

Начало
(Нажата кнопка «Рассчитать количество» на форме «Портфель акций и расчеты»)
Параметры: нет

Достигнут конец таблицы «Портфель акций»

Да

Нет

РекомендуемоеКоличество к покупке =«РекомендуемаяДоля»* Сумму имеющихся средств /Цену акции

Запрос к таблице котировки для получения текущей цены акции

Присваиваем полю «Количество» таблице «Портфель акций» округленное до целых значение переменной «РекомендуемоеКоличество»

Конец

Выход из процедуры

Рис. 11. Выбор инструментов

Рис. 8. Диаграммы деятельности


Рис. 8. Схема БД

Рис. 7. Use-Case диаграмма процесса формирования портфеля