Формирование оптимального портфеля акций российских эмитентов по модели г. Марковица.

Результатом этого стало создание в середине 60-х гг. XX в. модели ценообразования активов капитала (Capital Asset Price Model, САРМ), которую инвесторы используют при формировании структуры портфеля (6). Основным результатом САРМ явилось установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не весь риск, связанный с активом, а только часть его, называемую систематическим, или недиверсифицируемым риском. Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом «бета». Остальная часть (несистематический, диверсифицируемый риск) устраняется выбором соответствующего (оптимального) портфеля.В основе САРМ лежат следующие положения:- стандартная параметризация характеристик портфелей инвесторов (т.е. ожидаемые доходности и стандартные отклонения за период владения акциями);- отсутствие факторов, препятствующих инвестициям в активы (совершенство рынков, исключающее налоги и трансакционные издержки, безграничная делимость активов, равенство ставок безрискового заимствования и кредитования и т.д.);- одинаковый временной горизонт активности инвесторов;- однородность ожиданий относительно будущих доходностей, среднеквадратических отклонений и ковариаций доходностей активов на рынке;- одинаковая структура информационного поля для всех инвесторов.Главными итогами САРМ можно назвать появление теоремы о разделении. Она указывает на то, что оптимальная комбинация активов в портфеле инвестора может быть определена без учета его субъективных предпочтений относительно риска и доходности инвестиций (6). В состоянии равновесия портфель состоит из всех активов, обращающихся на рынке. Причем доля каждого актива соответствует его относительной рыночной стоимости, т.е. равна отношению текущей капитализации данного актива к текущей капитализации всего рынка активов. Следовательно, данная комбинация активов должна стать объектом практических инвестиций при пассивном поведении инвестора. Кроме того, данный «рыночный» портфель является универсальным показателем оценки эффективности деятельности инвестора.Невозможность определения структуры и стоимости истинного рыночного портфеля привели к необходимости использования его прообразов, в качестве которых при операциях с акциями используют структуру достаточно представительного фондового индекса. Полезными объектами в практической деятельности, получаемыми из теории САРМ, являются:- рыночная линия (Capital Market Line, CML). В условиях гомогенных ожиданий и совершенной конкуренции рынков эта линия совпадает с эффективным множеством структур портфелей активов;- рыночная линия ценной бумаги (Sucurity Market Line, SML), отражающая зависимость ожидаемой доходности актива от его коэффициента β.Дальнейшее развитие теории САРМ было направлено на ослабление ее исходных предположений. Было увеличено число характеристик портфеля, представляющих интерес для инвесторов. В качестве добавочной характеристики появилась ликвидность активов. Если инвесторы в среднем предпочитают активы с большим значением данной характеристики, то активы, вносящие значительный вклад в данную характеристику портфеля, будут иметь при прочих равных условиях меньшую ожидаемую доходность. И наоборот, если отношение инвесторов к данной характеристики портфеля негативное, то ожидаемая доходность актива с большим вкладом в данную характеристику будет выше. Если для конкретного инвестора некоторая характеристика наиболее привлекательна, чем для среднего инвестора, то значение этой характеристики для его портфеля, будет выше, чем ее значение для «рыночного» портфеля и наоборот. Вскоре классическая модель Марковица фактически вышла из употребления в современном фондовом менеджменте. Кроме того, из-за непредсказуемости современного рынка как российского, так и американского, оказалась неработоспособной теория Шарпа.Следующей моделью, определяющей механизм формирования будущих цен на рынке ценных бумаг, была факторная модель ценообразования, интегрированная в теорию арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, APT), которую предложил Стефан Росс. При использовании данной модели инвесторы могут формировать также оптимальную структуру портфеля. Главным в АРТ является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, реализующим данную возможность, является «арбитражный» портфель. Инвестор, имея некоторый портфель активов, исследует возможности формирования «арбитражного» портфеля, изменяя структуру существующего портфеля, для увеличения ожидаемой доходности инвестиций без увеличения риска. Поиск «арбитражного портфеля» должен происходить без привлечения дополнительных ресурсов инвестора. Данный портфель должен быть нечувствительным к какому-либо фактору, влияющему на доходность портфеля, и обладать положительной ожидаемой доходностью, т.е. «арбитражный» портфель становится привлекательным для инвестора. Он имеет нулевой факторный риск при положительной ожидаемой доходности (10). Действия по формированию «арбитражного» портфеля приведут к повышению спроса на одни активы и повышению предложения на другие. Подобная деятельность будет продолжаться до тех пор, пока все арбитражные возможности не будут существенно сокращены или исчерпаны. АРТ не получила широкого распространения, так как не указывает на вид факторов, влияющих на доходность ценной бумаги. Авторы АРТ определили следующие факторы, необходимые для оценки доходности актива (27, 125):темпы прироста промышленного производства;величина инфляции (ожидаемая и неожидаемая);разница между долгосрочными и краткосрочными процентными ставками заимствования и кредитования;разница между доходностью по корпоративным и государственным облигациям.Другие авторы использовали при определении доходности несколько отличные факторы:темп прироста усредненных продаж в экономике;ставка доходности индекса с широкой выборкой;разница между значениями индексов предприятий с большой и малой капитализацией.На практике использование АРТ заключается в построении чистого факторного портфеля для каждого фактора на основе ретроспективной доходности активов. Далее определяется оценка чувствительности конкретного актива к каждому фактору. В зависимости от инвестиционных целей инвестора строится эталонный портфель активов, а после этого на базе линейных зависимостей от коэффициентов факторной модели строится портфель активов, превышающий доходность эталона на определенную величину и с близкой величиной риска. Данный подход оказывается эффективным при предположении, что прошлые события будут повторяться в будущем. Следует сказать, что использование САРМ и факторной модели в АРТ не дает простого способа оценки будущих значений ожидаемой доходности активов, но позволяет применять их теоретические выводы о механизме ценообразования на фондовом рынке для формирования структуры портфеля активов.2.3 Формирование оптимального портфеля по Г.МарковицуКаждый инвестор прежде, чем вкладывать свои денежные средства в ценные бумаги, принимает решение каких инструменты и в каком объеме включить в свой инвестиционный портфель. Естественно, что инвестор стремится вложить деньги те ценные бумаги, которые обеспечивают высокий доход при максимальной определенности (низком уровне риска). Поступая таким образом инвестор преследует две противоречащие друг другу цели: добиться максимальной доходности портфеля и обеспечить минимальный риск. Реальность в соотношении рис и доходность ценных бумаг такова, что более доходные инструменты подвержены более высокому риску. Существуют способы сбалансировать эти цели при формировании инвестиционного портфеля. Одним из способов сбалансирования является метод диверсификации портфеля по Г.Марковицу(12, 56).Г.Марковиц в 50-х годах ХХ века, еще до появления модели САРМ, сформулировал и решил задачу выбора оптимально портфеля акций, как задачу формирован диверсифицированного портфеля с минимальным уровнем при заданном уровне доходности. Задача Г.Марковица выглядит следующим образом.Пусть имеется J акций, из которых потенциально может быть сформирован инвестиционный портфель. Доли акций каждого эмитента в портфеле подчиняются условию:Зададимся некоторым фиксированным уровнем ожидаемой доходности портфеля:Будем формировать портфель таким образом, чтобы его риск был минимально возможным:В математическом плане задача Г.Марковица сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией, спеременными wj (i=l, ... ,j), с ограничениями(12,57).Современный уровень развития и распространенности компьютерной техники и программного обеспечения позволяет без особых трудностей решить эту задачу напрямую, если имеется динамика курсов ценных бумаг за некоторый временной период. Это можно сделать, например, в программе EXCEL. А вот во времена Г.Марковица прямое решение этой задачи вызывало непреодолимые технические трудности, поэтому были изобретены различные «обходные» пути ее решения. Это графические способы, да и модель САРМ возникла, как один из подходов к решению задачи Г.Марковица. Хотя сейчас поставленную задачу выбора оптимального портфеля можно решить напрямую, рассмотрение графических подходов к ее решению все-таки целесообразно, поскольку они позволяют наглядно исследовать искомое оптимальное решение и дать ему содержательную интерпретацию (12,58).При выборе инвестором структуры его инвестиционного портфеля очень важным, можно даже сказать определяющим, является его отношение к риску. У инвесторов могут быть разные цели, разные возможности и, наконец, просто разные характеры и склонности рисковать. Склонность или несклонность инвестора к риску удобно описывать кривой безразличия, построенной в осях «Доходность/Риск». Кривые безразличия являются аналогом функций полезности инвестора. Более высокая кривая безразличия соответствует более высокой доходности, которую ждет инвестор за риск (рисунок 2.3.1).Из J ценных бумаг в общем виде можно сформировать бесконечное количество портфелей. Все множество портфелей, которые можно сформировать из J ценных бумаг, называется достижимым множеством портфелей. Г.Марковиц показал, что достижимое множество имеет на плоскости «Доходность/Риск) форму, показанную на рис.3.3. Но нам не обязательно рассматривать все возможные портфели, достаточно рассмотреть только так называемые эффективные портфели. Эффективный портфель - это такой портфель, для которого выполняются два условия: При фиксированном уровне риска к эффективному множеству относится портфель с максимальной доходностью (12, 58).При фиксированном эффективному множеству минимальным риском. Эффективное множество можно получить, если решить задачу Г.Марковица для интервала D) D2на рисунке 3.2.2. Доказано, что оптимальный портфель принадлежит эффективному множеству. Доходность Эффективное множество Рисунок 3.2.2 Достижимое и эффективное множество портфелейДля каждого конкретного инвестора оптимальный портфель будет уникальным, и это зависит от того, как инвестор относится к риску, следовательно - от его кривой безразличия. Построив на графике кривые безразличия конкретного инвестора и определив точки их пересечения с эффективным множеством, можем определить оптимальный портфель. На рис.з.4 изображены кривые безразличия трех разных инвесторов. Если инвестор имеет кривую безразличия (1), то для него на рассматриваемом рынке акций оптимального портфеля не существует. Это объясняется тем, что данный инвестор не склонен к риску и слишком высоко его ценит. Ожидаемая им доходность за риск на данном рынке не может быть обеспечена, так как все существующие ценные бумаги имеют более низкую доходность, чем ожидает инвестор. для инвестора, имеющего кривую безразличия (2), существует единственный оптимальный портфель С соответствующий точке касания кривой безразличия инвестора и линии эффективных портфелей рынка. для инвестора с кривой безразличия (3) оптимальными являются портфели А и В. Но эти портфели не самые лучшие. Портфель С является более предпочтительным, так как лежит на более высокой кривой безразличия (2) (12,59).Таким образом, оптимальным является портфель, соответствующий точкам пересечения кривой безразличия инвестора и эффективного множества. Наилучшим оптимальным портфелем может считаться портфель инвестора, имеющего кривую безразличия, касающуюся эффективного множества.2.4 Альтернативные модели формирования оптимального портфеляРассмотренная модель Марковица основывалась на предположениях, что активы, включаемые в портфель, являются только рисковыми, саммпортфель является рисковым, и инвестор не может брать деньги в долг. Рассмотрим обобщение модели Г. Марковица, предложенное Дж.Тобином. Модель Тобина основывается на постулате, что инвестору разрешается включать в портфель не только рисковые, но безрисковые активы, а также имеется возможность занимать инвестируемые деньги (12,60).В отличие от рискового актива, для которого будущий доход является неопределенным, по безрисковому активу будущий доход заранее определен и гарантирован. Отсюда вытекает, что стандартное отклонение безрискового актива равно нулю (). Тогда и ковариация между безрисковым финансовым инструментом и i-й рисковой ценной бумагой тоже равна нулю, так как .Прежде чем принимать решение о включении в портфель безрисковых финансовых активов, необходимо определить, какие ценные бумаги являются безрисковыми. Большинство специалистов считает, что это государственные ценные бумаги. Но оказывается, что далеко не все государственные облигации могут считаться безрисковыми. Для доказательства этого тезиса сопоставим сроки погашения государственной облигации, включаемой в портфель, и его инвестиционный горизонт. Возможны три ситуации (12,61).Если в портфель включена государственная облигация, срок погашения которой превышает инвестиционный горизонт, то инвестор вынужден будет при ликвидации портфеля продавать облигацию раньше наступления ее срока погашения. Стоимость ее в этот момент в будущем неизвестна, она определяется будущими процентными ставками, которые тоже неизвестны. Таким образом, эта государственная облигация вносит в портфель риск, обусловленный риском процентной ставки, и не может считаться безрисковой. Предположим теперь, что в портфель включена государственная облигация со сроком погашения меньшим, чем инвестиционный горизонт. В этом случае инвестор должен будет погасить государственную облигацию до наступления срока инвестиционного горизонта, а полученные от погашения деньги инвестировать в другую государственную облигацию. Здесь действия инвестора с государственными облигациями тоже подвержены риску процентных ставок, так как неизвестно, по какой цене в будущем ему удастся купить государственную облигацию.Таким образом, только включение в портфель государственной облигации со сроком погашения, совпадающим с инвестиционным горизонтом, обеспечивает отсутствие процентного риска, так как по такой облигации доход полностью определен уже в момент ее покупки. В качестве безрискового актива могут использоваться и субфедеральные и муниципальные облигации, а также облигации крупных акционерных обществ. Важно только, чтобы они обладали фиксированным купоном, и срок их погашения совпадал с инвестиционным горизонтом. Инвестирование в безрисковый актив будем называть безрисковым кредитованием. Пусть инвестор вложил часть средств в рисковый портфель с ожидаемой доходностью Е и стандартным отклонением а, а часть средств инвестировал в безрисковые финансовые инструменты с доходностью rf Обозначим УГи Jf доли вложений в рисковую и безрисковую части портфеля соответственно. Для долей Уги Jf справедливо равенство (12,62): Уг+ Yf= 1. Если все денежные средства вложены в рисковую часть портфеля, то такому портфелю соответствует точка D с координатами (,Е) на рис.3.5. Если все вложено в безрисковый актив, то такому портфелю соответствует точка М с координатами (О, rf). Все остальные промежуточные портфели, для которых Уг, Yf>O, находятся на отрезке МD. Если эффективное множество для рисковых портфелей - это дуга АВ, то любой портфель, лежащий на ней, можно скомбинировать с безрисковым активом. Но особую роль играет касательный портфель в точке К. Касательная МКD является крайней линией, соединяющей рисковый портфель с безрисковым. Все портфели, лежащие ниже ее, оказываются хуже по риску или доходности (12, 62). Доходность D Риск Рисунок 2.4.1 Портфели с рисковой и безрисковой частямиПолучается, что включение в портфель безрискового актива изменяет конфигурацию эффективного множества. С учетом только возможности безрискового кредитования эффективное множество теперь состоит из отрезка МК и дуги КВ. У1 местонахождение оптимального портфеля в этом случае будет зависеть от отношения инвестора к риску. Если его кривая безразличия касается эффективного множества, например, в точке В, то такой инвестор склонен к риску и формирует свой портфель исключительно из рисковых финансовых инструментов. Если же кривая безразличия инвестора касается эффективного множества в точке С, то такой инвестор менее склонен к риску, чем предыдущий. Он формирует свой портфель не только из рисковой, но и из безрисковой частей. Причем рисковая часть его портфеля имеет структуру, эквивалентную структуре касательного портфеля К.Рассмотрим теперь расширение модели, учитывающее возможность совершать безрuсковые заимствования под безрисковую процентную ставку. Для упрощения модели будем считать, что процентные ставки по 6езрисковому заимствованию и безрисковому кредитованию равны.Пусть инвестор имеет начальный капитал, равный 100000 руб. Пусть он совершил безрисковое заимствование 0.25 доли от первоначального капитала. То есть занял под безрисковую процентную ставку 25000 руб. Тогда он сможет инвестировать в рисковый портфель 1.25 доли первоначального капитала, так что:Yr=1.25; = -0.25; Уr +Уf=l.25+(-О.25)=1. На графике(рис.3.5) такой портфель может соответствовать, например, точке D. Если портфель составлялся с безрисковым заимствованием, то ему будет соответствовать точка Сна прямой MD, правее точки К. Если же портфель составлялся с безрисковым кредитованием, то ему будет соответствовать точка О,на прямой MD, левее точки К. Ввод в рассмотрение безрискового заимствования и кредитования изменяет эффективное множество С.В этом случае эффективное множество располагается на прямой MD.(Оптимальный портфель с учетом безрискового заимствования и кредитования инвестор выбирает в соответствии с его кривыми безразличия. Если оптимальный портфель конкретного инвестора находится на прямой MD, справа от точки К, то он склонен к риску, так как все средства, включая заемные, вкладывает в рисковые активы. Если инвестор выбирает портфель, находящийся на прямой МD, слева от точки К, то он менее склонен к риску, так как часть своих денежных средств вкладывает в безрисковые активы. Если же инвестор выбирает портфель М, то он не склонен к риску, так как все свои средства вкладывает в безрисковые финансовые инструменты, его вложения в рисковую часть портфеля равны нулю(12, 64).Все проведенные рассуждения и рассмотренные модели работают только в предположении, что имеет место совершенный рынок капиталов, то есть выполняются следующие постулаты:Инвесторы оценивают свой инвестиционный портфель на основании ожидаемых доходностей и стандартных отклонений за период владения портфелем.Инвесторы всегда предпочитают большую доходность меньшей при прочих равных условиях.Инвесторы не принимают лишний риск, всегда предпочитают меньший риск большему при прочих равных условиях.Финансовые активы на таком рынке бесконечно делимы, так что инвестор может купить часть акции.Существует безрисковая процентная ставка, по которой инвестор осуществляет безрисковые заимствования и кредитование.Безрисковая процентная ставка одинакова по величине для всех инвесторов.Налоги и операционные издержки на таком рынке не существуют.Для всех инвесторов инвестиционный горизонт одинаков.Информация о финансовых инструментах одинакова и свободно доступна для всех инвесторов.Инвесторы имеют однородные ожидания, то есть все они одинаково оценивают доходности и ковариации всех ценных бумаг, имеющихся на рынке (12, 64).Конечно, перечисленные ограничения очень существенно упрощают действительность, но такое упрощение позволяет сосредоточить внимание не на том, как поступать инвестору, а на том, что будет с ценами на финансовые инструменты, если сообщество инвесторов будет вести себя подобным образом.Если имеет место совершенный рынок капиталов, то на таком рынке для всех его участников существует одно, общее для всех, эффективное множество, представленное прямой AID. А также для всех инвесторов существует один единственный касательный портфель, соответствующий точке К. Таким образом, все инвесторы комбинируют свой инвестиционный портфель из рискового касательного портфеля и безрискового заимствования или кредитования. Об этом же говорят и теоремы разделения, диверсификации, о рыночном портфеле и о взаимных фондах, рассмотренные в предыдущей главе. Отсюда следует и очень важный для принятия инвестиционных решений вывод. Касательный портфель можно найти, не зная кривых предпочтения инвесторов. Достаточно лишь знать эффективное множество для рисковых портфелей и безрисковую процентную ставку. Другой подход к формированию портфеля ценных бумаг реализуется в модели арбитражного ценообразования. Главным предположением модели арбитражного ценообразования является то, что инвестор стремится повысить доходность своего портфеля без увеличения риска путем формирования арбитражного портфеля. Согласно рассматриваемой теории, доходность отдельной ценной бумаги зависит от некоторых количественно неопределенных факторов F1, F2, ... ,Fп, так, что доходность i-й ценной бумаги ri определяется следующим соотношением: ri= аi;+ b1iF; + b2iF2+ ... + bпiFп+ ei, где ai, bji(j=1, ... , п) постоянные, причем bjiпредставляет собой чувствительность (или факторную нагрузку) i-й ценной бумаги к j-MY фактору, е; -случайная ошибка (12, 66).Стремясь повысить доходность своего портфеля без увеличения риска, инвестор изучает возможность формирования арбитражного портфеля, обладающего двумя свойствами. Во-первых, арбитражный портфель не предполагает привлечение дополнительных денежных ресурсов. Во-вторых, арбитражный портфель формируется так, что обладает нулевой чувствительностью к любому из рассматриваемых факторов. По сути дела при формировании арбитражного портфеля инвестор изменяет структуру своего старого портфеля путем продажи одних акций и покупки за этот счет других. Возможность сформировать арбитражный портфель появляется тогда, когда на рынке нарушается равновесие в результате отклонения цен на акции. Индикатором нарушения равновесия на рынке акций служит наличие арбитражного портфеля с положительной доходностью. Если такой портфель существует, значит, нарушение равновесия налицо и этим можно воспользоваться, повысив доходность своего портфеля без дополнительного риска. А если такого портфеля не существует, следовательно, нарушений равновесия нет и повысить доходность без повышения риска невозможно. Обозначим W1 W2, ... , W - изменения весов соответствующих ценных бумаг в портфеле инвестора (L - общее количество ценных бумаг на рынке), что означает, одновременно, веса бумаг в арбитражном портфеле. Тогда условия, которым должен удовлетворять арбитражный портфель, будут выглядеть следующим образом: Решая полученную систему уравнений относительно долей W1 W2… Wlполучим множество потенциально арбитражных портфелей (так как количество неизвестных L больше, чем количество уравнений (n+ 1), n - количество факторов). Из этого множества действительно арбитражным будет только тот портфель, который обладает положительной ожидаемой доходностью, так как только в этом случае удастся повысить доходность старого портфеля, добавив к нему арбитражный портфель. Ожидаемая доходность портфеля равна средне взвешенной сумме ожидаемых доходностей отдельных ценных бумаг (12, 67): А ожидаемая доходность i-й ценной бумаги равна: = Здесь dj(j=1, ... ,n) - есть ожидаемая доходность портфеля акций, имеющего единичную чувствительностьк j-му фактору и нулевую чувствительность к остальным факторам. Множители (dj- rf) являются nремией за факторный рискпо каждому из п рассматриваемых факторов. Они равны превышению доходности единичного портфеля над безрисковой процентной ставкой.Рассмотрим для примера двухфакторную арбитражную модель. Пусть имеем четыре акции с доходностями и чувствительностями, приведенными в табл.3 .1 (12, 68).Таблица 2.4.1Акция и) ДохоДность(rд b1jЬ2i;1 25% 1.2 3.0 2 21% 0.8 1.5 3 20% 2.5 2.0 4 28% 3 0.9 Необходимо про верить, возможно ли арбитражное повышение доходности портфеля. Дя этого найдем арбитражный портфель и проверим, положительна ли его доходность. Для определения арбитражного портфеля нужно решить систему из трех уравнений:W1+W2+Wз+W4=0 1.2W1+0.8W2+2.5Wз+ 3 W4=0 3 W1+ 1.5 W2+ 2Wз+0.9W4=0 Поскольку система уравнений недоопределена, примем W1=0.1, тогда решив систему, получим: W2= -0.054, Wз= -0.122, W4= 0.076. Ожидаемая доходность такого портфеля равна: (0.1xO.25)+(-0.054хО.21)+(-0.1 22хО.2)+(0.076хО.28)=0.0 11 или 1.1 %. Доходность арбитражного портфеля положительна. Поскольку возможность проведения арбитража есть, инвесторы будут формировать арбитражные портфели, способствуя тем самым восстановлению равновесия на рынке. Это будет продолжаться до тех пор, пока доходность арбитражного портфеля не станет нулевой и арбитражная ситуация не исчезнет. Пусть безрисковая процентная ставка равна 18% годовых, а премии за риск для первого и второго факторов равны 4% и -3% соответственно. Тогда можно посчитать ожидаемые доходности ценных бумаг для равновесного состояния рынка: = 18 + 4b1i- 3Ь2;Для каждой из четырех акций ожидаемая доходность будет следующей: =18+4·1.2-3·3=13.8% =18+4·0.8-3·1.5=16.7% гз = 18 + 4·2.5 - 3·2 = 22% = 18 + 4 . 3 - 3 . 0.9 = 27.9% Если теперь посчитать ожидаемую доходность портфеля по ожидаемым доходностям ценных бумаг, то можно убедиться, что она равна нулю. Формирование арбитражного портфеля привело к исчезновению арбитражной ситуации (12, 68).Здесь мы предполагали, что в исходный портфель все акции были включены в равной пропорции. Тогда исходная доходность портфеля может быть рассчитана как средневзвешенная, она равна 23.5%. Старый портфель вместе с арбитражным даст дополнительную доходность 1.1 %. Для нового портфеля получим более высокую доходность 24,6%. Таким образом, арбитражная модель позволяет повысить доходность диверсифицированного портфеля без увеличения риска, если на рынке имеет место нарушение паритета курсов ценных бумаг или, другими словами, возникла арбитражная ситуация. В связи с этим арбитражная модель является скорее не альтернативной для модели Г.Марковица, а дополняющей ее при принятии решения относительно формирования оптимального портфеля.Список литературыО рынке ценных бумаг: федеральный закон №39-ФЗ от 22.04.96Об акционерных обществах: федеральный закон №208 от 26 декабря 1995 годаО приватизации государственного и муниципального имущества: федеральный закон № 178 от 30 ноября 2001Об оценочной деятельности: федеральный закон №135 от 29.07.98Амбарцумов А.А., Стерликов Ф.Ф. 1000 терминов рыночной экономики: Справочное учебное пособие. М.: Крон-Пресс, 1993. 302 с. Бердникова Т.Б. Оценка ценных бумаг: учебное пособие.-М.: Инфа-М, 2004.- 144 с.Боровкова В.А. Рынок ценных бумаг. - СПБ.: Питер,2005.-320 с.: с ил.Буренин А.Н. Рынок бумаг и производных финансовых инструментов: учебное пособие. М.: Научно-техническое общество им. акад. С.И.Вавилова, 2002.-352 с.Вилкова Т.Б. Конфликт интересов при осуществлении брокерской деятельности на рынке ценных бумаг//Вестник финансовой академии.-2007 г.-№1(41).-С.123-131Вильямс Б. Торговый хаос: экспертные методики максимизации прибыли. - М.: ИК Аналитика, 2000. - 198 с.Воронин, В.П., Сапожникова Н.Г. Учет ценных бумаг: учебное пособие. -М.: Финансы и статистика.2005.-400 с.Вострокнутова А.И.Портельное инвестирование: учебное пособие.- СПб.: СПбГУЭФ, 2002.-120 с.Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы: Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1995. -Т. 2. Вып. 4. С. 558 - 603. Демарк Томас Р. Технический анализ - новая наука. - 203 с.Евсенко О.С. Шпаргалка по инвестициям: учеб. пособие. - М.: ТК Велби, 2004. - 24 с.Жуковская М.В. Рынок производных ценных бумаг: Учебное пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 39 с.Йенсен Б.А. Нильсен Й.А. Расчет цены в отсутствие арбитража: Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1996. Т. 3. Вып. 6. С. 900 - 944. Иванова Л.Н., Огорелкова Н.В. Рынок ценных бумаг: Методические указания к изучению курса. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2004. - 68 с.Колтынюк Б.А. Ценные бумаги: учебник.- 2-е изд..-СПб.: Михайлова В.А., 2001.-304 с.Кремер А.И. Основы статистической динамики рынка ценных бумаг: Учебные материалы к спецкурсам "Финансовая математика", "Финансовая статистика". - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2000. - 24 с.Мертенс А. Инвестиции. Киев: Киевское инвестиционное агентство, 1997. 416 с. Меньшенина А.В. Инвестиции: Конспект лекций (для студентов специальности 060400 - "Финансы и кредит"). - Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. - 79 с.О'Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами. М.: Дело Лтд, 1995.207 с. Рынок ценных бумаг: учебник / под ред. В.А. Галанова, А.И. Басова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика,2006. - 448 с : ил. Солонская Л.А. Ценные бумаги: Учебное пособие. - СПб.: СЗТУ, 2002. - 45 с.Рынок ценных бумаг и биржевое дело: Опорный конспект лекций / Составитель Юдина И.Н. - Барнаул, Изд-во "Азбука", 2006. - 119 с.Российский рынок ценных бумаг как неравновесная экономическая система/ Лахно Ю.В. //Финансы и кредит.-2008 г.№34 -с.12-13Ценные бумаги: учебник/под ред. В.И.Колесникова, В.С.Торкановского.-2-3 изд., перераб. и доп.-М.: Финансы и статистика, 2001.- 448 с.: с ил.Черкасов В.Е. Рынок ценных бумаг и биржевое дело:учебно-методическое пособие.-Тверь,1999.-215 с.Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Д.В. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1999 . 1027 с. Шведов А. С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999. 144 с. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. М.: Фазис, 1998. Т. 1.490 с. Энг М.В., Лис Ф.А., Мау эр Л. Дж. Мировые финансы. М.: ДеКа, 1998. 735 с. Sharpe W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. N.Y.: Mc Graw-Hill, 1970. Альфа-Банк: Ежедневный обзор рынка (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.rcb.ru/analytics/2134/Анализ фондового рынка России за 2008 год (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://finmarket.kubangov.ru/contentАнализ рынка ценных бумаг (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://statist-agency.ru/?p=12Банки не верят ценным бумагам (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.energ.ru/about/mass-media/2009/april/banki_ne_veryat_cennym_bumagam/Биржевые площадки (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://vfin.1gb.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=26&Itemid=108Доклад о мерах по совершенствованию регулирования и развития рынка ценных бумаг (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.ippnou.ru/article.php?idarticle=004097Звягинцев Д. Стабилизировать рынок ценных бумаг (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://com.lawmix.ru/index.php?id=6491Комментарий: Динамика рынка ценных бумаг(Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.klerk.ru/bank/fin/?25655Обзор рынка ценных бумаг (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://tfb.ru/index.php?page=content&id=1552Процесс падения рынка ценных бумаг(Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.rian.ru/crisis_spravki/20080917/151358031.htmlРынок ценных бумаг и методы его анализа" С. Тертышный (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://forex-baza.com/fundamental-39.htmlТорговые площадки РФ (Электронный ресурс).- Режим доступа: http://www.icfo.ru/services/brokerage/choose/russian-markets;jsessionid=99857F3FAC4B88E5EC2D413BC837B086