Расчёт двусторонне нагруженного линейного полосового LC-фильтра

Они имеют вид:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:
  (26)
Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

Коэффициенты в знаменателе (26) находятся по формулам:
    (27)
где  – значение полюсов (25).


Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.
Таблица 3
Номер сомножителя Значения коэффициентов ai1 bi1 bi0 1
2
3 7.074×104
7.074×104
7.074×104 3.351×104
1.892×104
1.458×104 1.511×1011
1.96×1011
1.165×1011 Подставляя найденные коэффициенты в формулу (26) получим:
(28)

Расчет элементов схемы фильтра
В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 8). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 8, в виде:
(29)
Из (29) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (28) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (28) и (29).
Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (28):
(30)
В системе (30) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например, емкостей конденсаторов С3 и С4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Рис. 8
Если принять С3 = С4 = 2 нФ, то, решая (30), получим:
R1 = 7.068 кОм,  R5 = 29.85 кОм,  R2 = 55.886 Ом.
Составляя аналогичную систему для второго звена, получим:
R1 = 7.068 кОм,  R5  = 52.85 кОм,  R2 = 24.22 Ом.
Аналогично для третьего звена:
R1 = 7.068 кОм,  R5  = 68.56 кОм,  R2 = 31.45 Ом.
Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.
8. Приведем ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т. е. A = K(f).
При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (29). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет
  (31)
где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Формула (31) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.
С этой целью в (29) производится замена переменной вида р = jω, в результате чего получаем выражение:

Находится модуль H(jω) в виде:
  (32)
Зная H(ω), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:
(33)
где,                            (34)
В качестве числового примера выполним расчет первого звена фильтра.
Из предыдущих расчетов берем значения элементов:
С3 = С4 = 2 нФ; R1 = 7.068 кОм,  R5 = 29.85 кОм,  R2 = 55.886 Ом.
Подставляем эти значения в (32):

9. Рассчитаем ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).


Первое звено.

На частоте границы ПП fп2 = 71.43 кГц находим Н1(ωп2) = 0.604:

Аналогично, на частоте границы ПН fз2 = 75.89 кГц находим Н1(ωз2) = 0.433. Кроме того находим Н1(ω) на частотах fп1 = 53.57 кГц и fз1 = 50.42 кГц.
Аналогичные расчеты выполняем для второго и третьего звеньев. Ослабления рассчитываем по формулам (33) и (34). Все результаты сводим в таблицу 4.
Таблица 4

fз1= 50.42кГц fп1= 53.57.кГц fп2= 71.43кГц fз2= 75.89кГц H1(ω)
H2(ω)
H3(ω) 0.433
0.234
1.135 0.604
0.287
4.081 0.604
3.146
0.373 0.433
1.032
0.303 H(ω) 0.135 0.708 0.708 0.135 A1(ω)
A2(ω)
A3(ω) 7.278
12.618
-2.533 4.378
10.837
-12.215 4.378
-9.955
8.577 7.278
-0.273
10.358 A(ω) 19,827 3 3 17.363
При анализе табличных данных обратим внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах, то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.

10. Приведем схему ARC-полосового фильтра.
На рис.9 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты.

Рис. 9
На рис. 10 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рис. 10

Список используемой литературы:
Зевеке Г.В, Ионкин П.А, Нетушил А.В, Страхов С.В. Основы теории цепей. М. «Энергия», 1975
Нейман Л. Р. Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т 1 и 2, Л. «Энергия», 1966
Атабеков Г. И. Основы теории цепей, М. «Энергия», 1969
Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники Ч 1, М. «Энергия», 1970
Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники Т 1, М. «Энергия», 1972












25