Метод конечных элементов.
Заказать уникальный реферат- 1414 страниц
- 1 + 1 источник
- Добавлена 15.01.2009
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение
1 Предварительные сведения
1. 1 Метод жесткостей расчета конструкции и исследование сетей
1. 2 Элемент конструкции
2 Обобщение понятия конечных элементов
2. 1 Вариационные задачи
2. 2 Другие подходы к методу конечных элементов
Заключение
Список литературы
Рассмотрим задачу приближенного решения системы дифференциальных уравнении, которым должна удовлетворять неизвестная функция {ф} в области V. Запишем основное уравнение в виде
а граничное условие на границе S как:
.
Если пробная функция, удовлетворяющая граничным условиям, записана в общей форме
где, как и прежде, [N] является функцией координат, а {Ф} — система n параметров, то в общем случае
Наилучшим решением будет то, которое дает во всех точках области V наименьшую невязку R.
Очевидно, это решение можно получить, использовав то обстоятельство, что если невязка R тождественно равна нулю всюду в области, то
где W— любая функция координат. Если число неизвестных параметров {Ф} равно n, то, выбрав п линейно независимых функций Wi, запишем соответствующую систему уравнений
Bиз которой может быть найдена функция . Этот процесс называется методом взвешенных невязок, a Wi — весовой функцией. Выбор различных весовых функций приводит к различным классическим методам.(1)
Коллокация в точке. В этом случае полагается, что Wi = 1 в некоторой точке i и равна нулю во всех остальных. При этом фактически основное дифференциальное уравнение удовлетворяется в п отдельных точках.
Коллокация в подобласти. В этом методе считается, что Wi = 1 в некоторой подобласти и Wi = 0 в остальной части области. Это эквивалентно тому, что интеграл обращается в нуль в некоторых подобластях, число которых достаточно для того, чтобы получить необходимое число уравнений.
Метод Галеркина. В этом случае Wi= Ni т. е. в качестве весовой функции выбирается функция формы, с помощью которой аппроксимируется решение. Этот метод обычно приводит к наилучшим результатам.
При использовании в любом из упомянутых методов соотношения, определяющего принятую аппроксимацию, можно выявить основные особенности метода конечных элементов.
Во-первых, результирующая система уравнений будет иметь ленточный вид, так как влияние каждого параметра распространяется только на элементы, примыкающие к рассматриваемой узловой точке.
Во-вторых (в предположении, что, как и ранее, границы между элементами не дают, никакого вклада), интегралы вычисляются для каждого элемента независимо, а затем полученные результаты суммируются.
Очевидно, что правила получения коэффициентов для ансамбли будут такими же, как и в задачах строительной механики, если оператор А линеен.
Здесь следует отметить один недостаток метода взвешенных невязок. В этом методе дифференциальный оператор А содержит производные более высоких порядков, чем вариационный функционал х- Таким образом, чтобы избежать вкладов от межэлементных зон, необходимо обеспечить выполнение условий непрерывности функции формы более высокого порядка. Это обстоятельство имеет важное значение, так как оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым может вызвать непреодолимые трудности. (1)
Заключение
В настоящее время вследствие появления большого количества работ, в которых рассматривается метод конечных элементов, в таком объяснении почти нет необходимости. Возникнув как один из приемов исследования конструкций разнообразных форм, он получил к настоящему времени всеобщее признание как общий метод изучения широкого класса задач техники и физики. (1)
Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся исследованием дискретных конструкций или электрических цепей. Популярность метода, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. Использование ЭВМ позволяет получать решения многих сложных технических задач. Метод конечных элементов уже сейчас используется во многих конструкторских организациях в качестве обычного инженерного метода.
Список литературы
1 Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич; пер. с англ. Б. Е. Победри. – М.: Мир, 1975. – 543 с.
2
1 Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич; пер. с англ. Б. Е. Победри. – М.: Мир, 1975. – 543 с.
Вопрос-ответ:
Какие предварительные сведения необходимы для использования метода конечных элементов?
Для использования метода конечных элементов необходимо иметь знания о методе жесткостей расчета конструкции и исследовании сетей.
Что такое элемент конструкции в методе конечных элементов?
Элемент конструкции - это часть сетки, на которой проводятся расчеты. В методе конечных элементов конструкция разбивается на множество таких элементов, чтобы решение в каждом элементе было приближенным и легко вычислимым.
Какие вариационные задачи решаются в методе конечных элементов?
В методе конечных элементов решаются вариационные задачи для приближенного решения системы дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять неизвестная функция в заданной области.
Какие граничные условия учитываются при использовании метода конечных элементов?
При использовании метода конечных элементов учитываются граничные условия на границе области, в которой проводятся расчеты. Эти граничные условия могут быть разными в зависимости от конкретной задачи.
Какие другие подходы существуют к методу конечных элементов?
Кроме метода жесткостей расчета конструкции и исследования сетей, существуют и другие подходы к методу конечных элементов, такие как метод квазиравномерного разбиения области, метод граничных элементов и метод расщепления переменных.
Что такое метод конечных элементов?
Метод конечных элементов - это численный метод, используемый для решения систем дифференциальных уравнений в областях сложной формы. Он основан на разбиении области на более простые конечные элементы, для которых уравнения решаются локально. Затем полученные решения объединяются, чтобы получить решение для всей области.
Как происходит расчет конструкции с помощью метода конечных элементов?
Для расчета конструкции методом конечных элементов необходимо разделить всю конструкцию на более простые элементы. Затем для каждого элемента устанавливаются уравнения, описывающие его поведение. Полученные уравнения объединяются в единую систему уравнений, которую затем можно решить численными методами.
Как определяется элемент конструкции в методе конечных элементов?
Элементом конструкции в методе конечных элементов может быть любая часть конструкции, которую удобно представить в виде отдельного элемента. Например, это может быть отрезок, пластина, объемный элемент и т.д. Для каждого элемента определяются его геометрические и физические характеристики.
Какие вариационные задачи решаются при использовании метода конечных элементов?
При использовании метода конечных элементов решаются вариационные задачи, которые сводятся к поиску минимума функционала энергии. Для этого строится функционал энергии, который зависит от перемещений или деформаций элементов конструкции. Затем оптимизируется этот функционал для получения приближенного решения задачи.
Какие другие подходы существуют к методу конечных элементов?
Помимо классического метода конечных элементов, существуют и другие подходы. Например, метод конечных объемов, который основан на разбиении области на конечные объемы вместо элементов. Также есть метод граничных элементов, который рассматривает только границу области и использует специальные базисные функции. Каждый из этих подходов имеет свои особенности и применяется в различных сферах.
Что такое метод конечных элементов?
Метод конечных элементов - это численный метод, используемый для приближенного решения системы дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять неизвестная функция в заданной области. Основная идея метода заключается в разбиении области на конечное количество подобластей, называемых конечными элементами, и аппроксимации решения в каждом элементе с помощью специально выбранных базисных функций.
Какая основная идея метода жесткостей расчета конструкции через метод конечных элементов?
Основная идея метода жесткостей расчета конструкции через метод конечных элементов заключается в аппроксимации поведения конструкции с помощью конечного количества элементов и сводится к решению системы линейных уравнений. Конструкция разбивается на конечные элементы, для каждого элемента строится локальная матрица жесткости, а затем эти матрицы объединяются в глобальную матрицу жесткости.