22 вариант

Результаты работы программы представлены на рис. 5.1, в.
Множитель Лагранжа, который приводится в «Отчете по устойчивости», равен λ = 0,4891; это означает, что увеличение эффективности rπ заданного портфеля на 1% приведет к тому, что риск оптимального портфеля, обладающего такой эффективностью, увеличится приблизительно на ≈ 0,7% .
6. Оптимальность по Парето
Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения
E1 -6 -5 -4 3 p 1/3 1/3 1/6 1/6 E2 0 8 12 20 p 1/5 1/5 1/5 2/5
E3 0 2 10 28 p 1/5 2/5 1/5 1/5 E4 0 16 32 40 p 1/2 1/8 1/8 1/4 Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.

Решение.
Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно








Нанесем точки (MEi; σi) на единый график (рис. 6.1).

Рис. 6.1. График «риск – доходность»
Операция 2 доминирует операцию 3. Нет стратегий, которые доминируют операции 1, 2, 4. Значит, операции 1, 2, 4 оптимальны по Парето.
7. Многокритериальная оптимизация
Дана задача векторной оптимизации:
(7.1) (7.2) Требуется определить переговорное множество, а затем решить данную задачу методом последовательных уступок (допустимые уступки по первым двум критериям принять равными δ1 = 3 и δ2 = 2).
Решение.
В данной задаче переговорное множество совпадает с областью допустимых решений (т. е. точек, удовлетворяющих условиям (7.2), они соответствуют четырехугольнику ABCD на рис. 7.1, а). Действительно, возьмем любую точку множества допустимых решений. Если мы от нее сдвинемся вправо, то значение критерия z3 увеличится, но значения критериев z1 и z2 уменьшатся. Если мы сдвинемся левее, то значения критериев z1 и z2 увеличатся, но значение критерия z3 уменьшится. Если мы сдвинемся ниже, то значения критериев z1 и z2 уменьшатся, но значение критерия z3 увеличится. Если мы сдвинемся выше, то значения критериев z1 и z2 увеличатся, но значение критерия z3 уменьшится. Таким образом, ни одна из точек множества допустимых решений не доминируется другими, т. е. все допустимые точки оптимальны по Парето.
Максимизируем функцию z1 при условиях (6.2). Это легко сделать графически (рис. 7.1, а). Получаем:

Переходим к максимизации функции z2 при условиях (7.2) и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию z1 нельзя уступать более чем на δ1 . Так как , то дополнительное ограничение будет иметь вид
(6.3)
а)

б)

в)
Рис. 7.1. Графическое решение задачи векторной оптимизации
Задачу (7.1), (7.2), (7.3) решим графически (рис. 7.1, б):

Теперь уступаем по критерию z2 на δ2 и получаем второе дополнительное ограничение:
(7.4) Максимизируем z3 при условиях (7.2), (7.3), (7.4) графически (рис. 7.1, в). Получаем оптимальное решение трехкритериальной задачи:

При этом


8. Принятие решений в условиях неопределенности
Возможные значения курса базовой валюты в течение ближайшего года представлены четырьмя интервалами. Банк рассматривает четыре инвестиционных проекта, каждый из которых связан с международным бизнесом. Последствия от принятия банком i-го инвестиционного проекта при условии, что курс валюты окажется в j-м интервале, приведены в табл. 8.1. В табл. 8.2 приведены прогнозируемые экспертами вероятности возможных интервалов курса базовой валюты.
Требуется построить матрицу сожалений, найти решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, максимального ожидаемого дохода и минимального ожидаемого риска, а также определить проекты, оптимальные по Парето.
Таблица 8.1
№ проекта Вариант обменного курса 1 2 3 4 22 2 3 4 10 23 2 6 8 2 24 -6 -2 4 8 25 -6 -2 4 8 
Таблица 8.2
Вероятности вариантов обменного курса 1 2 3 4 1/4 1/4 1/3 1/6 
Решение.
По условию задачи матрица последствий

Составим матрицу сожалений.

поэтому, матрица сожалений

По правилу Вальда (правилу крайнего пессимизма) полагаем, что при принятии i-го решения на самом деле складывается самая плохая ситуация, т. е. приносящая наименьший доход , и выберем решение i0 с наибольшим . Имеем:

Из этих чисел 0, 0, 2, 2 находим максимальное: это 2. Значит, правило Вальда рекомендует принять третье или четвертое решение.
Правило Сэвиджа аналогично правилу Вальда, только анализируется матрица сожалений: рассматривая i-e решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимальных сожалений , и выберем решение i0 с наименьшим . Имеем:

Из этих чисел 4, 8, 8, 8 находим минимальное. Это 4. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять первый инвестиционный проект.
Правило максимизации ожидаемого дохода рекомендует принять решение, соответствующее наибольшему из ожидаемых доходов:

Максимальный ожидаемый доход равен 5, что соответствует второму инвестиционному проекту.
Правило минимизации ожидаемых сожалений рекомендует принять решение, соответствующее наименьшему из ожидаемых сожалений:

Минимальное ожидаемое сожаление равно 4/3, что соответствует второму инвестиционному проекту.
Нанесем точки (MQi, MRi) на единый график (рис. 8.1).

Рис. 8.1.График «риск – доходность»
i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.
Видно, что 2-е решение доминирует все остальные решения. Нет операции, которая доминировала бы решение 2. Значит, второй инвестиционный проект является оптимальным по Парето.
9. Матричная игра
Предприятие имеет две стратегии рыночного поведения, тогда как его конкурент имеет четыре таких стратегии. Прибыль (в млн. руб.), которую получит предприятие при условии, что оно изберет стратегию i (i = 1, 2), а его конкурент – стратегию j (j = 1, 2, 3, 4), равна aij. Платежная матрица

Требуется двумя способами (графическим и с помощью сведения матричной игры к паре взаимно двойственных задач линейного программирования) найти оптимальные смешанные стратегии предприятия и конкурента, а также цену игры – оптимальную прибыль предприятия.
Решение графическим методом.
Нижняя цена игры

Верхняя цена игры

α ≠ β , значит, седловой точки (в чистых стратегиях) в игре нет. Пусть первое предприятие выбирает свою первую стратегию с вероятностью p, а вторую стратегию – соответственно с вероятностью (1 – p), т. е. первое предприятие играет со смешанной стратегией

Обозначим vj(p) ожидаемую прибыль первого предприятия, если второе предпрятие при этом выберет свою j-ю стратегию. В нашем случае

Графики этих функций построены на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Гарантированная прибыль первого предприятия при различном выборе смешанной стратегии
Второе предприятие так выбирает свои стратегии, чтобы обеспечить первому минимальный выигрыш: (эта функция отмечена на рис. 9.1 жирной линией). Иными словами, при второе предприятие будет выбирать свою четвертую стратегию, и первое предприятие будет выигрывать v4(p), при второе предприятие будет выбирать третью стратегию, и первое предприятие будет выигрывать v3(p). Наилучший для первого предприятия выбор при этом соответствует . В нашем случае оптимальной смешанной стратегией первого предприятия является стратегия

[она определяется из условия v3(p) = v4(p), или –6p+2=3p–3, или p=5/9, 1–p=4/9], при этом цена игры равна v = v3(5/9) = v4(5/9)= –4/3.
Отметим, что второе предприятие, действуя разумно, никогда не будет выбирать первую и вторую стратегии, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго предприятия имеет вид

Тогда выигрыш второго предприятия равен , если первое предприятие выбирает свою первую стратегию, и , если первое предприятие выбирает свою вторую стратегию. Значение q определяется из условия , оно равно q = 1/3.
Поэтому оптимальная смешанная стратегия второго предприятия равна

Решение с помощью сведения к паре взаимно двойственных задач.
От платежной матрицы

путем добавления положительного числа b = 5 перейдем к матрице

все элементы которой положительны.
Пара двойственных задач линейного программирования такова:


Решим задачу на максимум симплекс-методом. Для этого систему неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных y5 и y6 заменим системой линейных алгебраических уравнений

Процесс решения записан в виде последовательности симплексных таблиц (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Базис h 1 1 1 1 0 0 Пояснения y1 y2 y3 y4 y5 y6 0 y5 1 6 7 1 5 1 0 min((j<0)=min(–1, –1, –1, –1)= –1
0 y6 1 3 5 7 2 0 1 z0 – z 0 – z –1 –1 –1 –1 0 0 Базис h 1 1 1 1 0 0 Пояснения y1 y2 y3 y4 y5 y6 0 y5 6/7 39/7 44/7 0 33/7 1 –1/7 min((j<0)=min(–4/7, –2/7, –5/7)= –5/7
1 y3 1/7 3/7 5/7 1 2/7 0 1/7 z0 – z 1/7–z –4/7 –2/7 0 –5/7 0 1/7 Базис h 1 1 1 1 0 0 Пояснения y1 y2 y3 y4 y5 y6 1 y4 6/33 13/11 4/3 0 1 7/33 –1/33 Все (j ( 0, j = 1, 2, …, 6 1 y3 1/11 –10/11 –2/3 1 0 –2/33 5/33 z0 – z 3/11–z 3/11 2/3 0 0 5/33 4/33 Как видно из последней симплексной таблицы, решением задачи является y1 = 0; y2 = 0; y3 = 1/11; y4 = 6/33. Решение двойственной задачи: x1 = 5/33; x2 = 4/33.
Оптимальные решения двойственных задач равны
и ,
оптимальные смешанные стратегии предприятий
и ,
а цена игры .
10. Модель Леонтьева
В модели Леонтьева даны матрица прямых затрат

и вектор конечного спроса
.
Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.
Решение.
Найдем матрицу полных затрат (E – A)–1:
,
процесс вычисления матрицы (E – A)–1 с помощью метода Жордана – Гаусса показан в табл. 10.1.
Таблица 10.1
1/3 –1/3 1 0 –1/4 3/5 0 1 1 –1 3 0 0 7/5 3 4 1 0 36/7 20/7 0 1 15/7 20/7 Получим тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу (E – A) в ячейки A2:C3 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 10.1, а.
Отведем под результат ячейки D2:E3. В ячейку D2 введем формулу «=МОБР(A2:B3)», причем введем эту формулу как формулу массива. Результат представлен на рис. 10.1, б (в ячейках D2:E3). Результаты ручного и компьютерного вычисления обратной матрицы совпали.

a) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета
Рис. 10.1. Вычисление матрицы полных затрат с помощью Microsoft Excel
Таким образом, матрица полных затрат

Теперь можно найти вектор валового выпуска, обеспечивающий конечный спрос c: