производная и ее изменение

Но угол наклона касательной задает именно производная!


Рисунок 2 – Локальные экстремумы функции
Итак, найдены все корни уравнения . Чтобы проверить, является ли данная стационарная точка локальным экстремумом или не является, требуется исследовать знак производной слева и справа от точки . Достаточное условие экстремума можно сформулировать так: если — это стационарная точка и производная, переходя через , меняет знак с «–» на «+», то — локальный минимум. А если с «+» на «–», то — локальный максимум. Если же производная не меняет знак, то не является локальным экстремумом.

Пример 1
Найти максимально возможную площадь прямоугольного треугольника, сумма длин катетов которого равна d.
Обозначим длины катетов через а и b. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:

.
Известно, что , значит:

.
Получили функцию . Найдем, при каких а эта функция принимает максимальное значение. Для этого найдем корни уравнения :

,
,
.
Значит, максимальная площадь будет у того треугольника, катеты которого одинаковы и равны .

4.3. Построение графиков функций

Предположим, требуется построить график какой–либо функции . Составляя соответствующие алгебраические уравнения, мы сможем найти точки пересечения этой функции с осями OX и OY. Но этого явно недостаточно для построения графика!
Методы дифференциального исчисления предлагают стандартные приемы для построения графиков, и немаловажную роль при этом играет производная. Прежде всего, требуется найти корни уравнения . Далее следует провести исследование, описанное выше, и узнать, являются ли полученные стационарные точки экстремумами. После того, как экстремумы найдены (или доказано их отсутствие), требуется исследовать вторую производную , которая позволяет узнать, выпуклый или вогнутый график функции следует рисовать на данном промежутке, и есть ли у функции точки перегиба. Также производная позволяет построить асимптоты к графику функции (прямые, к которым график неограниченно приближается при бесконечном возрастании аргумента).
Далеко не всегда приходится выполнять в полном объеме все исследование функции для построения ее графика. Тем не менее, даже в простейших случаях часто бывает не обойтись без нахождения производной.

Пример 1
Пусть требуется построить график . Для того, чтобы определить точки, «подозрительные на экстремум», найдем корни производной:

,
.
Выясним, как меняется знак производной при переходе через точки :

х –1 1 + 0 – 0 + 2 –2
Значит, точка максимума — это (–1; 2), точка минимума — это (1; –2). График функции приведен на рисунке 3.


Рисунок 3 – График функции

4.4. Различные физические понятия

С помощью производных вводят очень многие физические понятия. Например, как уже упоминалось в разделе 2, скорость есть первая производная от пути по времени. Ускорение есть первая производная от скорости по времени, или, что тоже самое, вторая производная от пути по времени.
Угловые скорость и ускорение, различные теплоемкости, поверхностные и объемные плотности заряда — все они выражаются через те или иные производные. Этот список можно продолжать еще долго!

Пример 1
Сила тока есть первая производная по времени от заряда, а ЭДС индукции пропорциональна первой производной по времени от силы тока (или второй производной от заряда):
,
. 5. Выводы

Таким образом, производная — это одно из базисных понятий современной науки. Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. За разработку основ дифференциального и интегрального исчисления мы должны быть благодарны Ньютону и Лейбницу.
Производные имеют чрезвычайно широкую область применения. В частности, вычисление производной необходимо для отыскания локальных максимумов и минимумов функции . Производная задает наклон касательной к графику функции в некоторой точке. Без знания того, где расположены максимумы и минимумы, невозможно построить график даже простой функции. Огромное количество физических понятий определено через производные. Самые часто встречающиеся из них — это скорость и ускорение, сила тока, теплоемкости.
Можно утверждать наверняка, что ни одна ныне существующая область науки не обходится без использования дифференциального и интегрального исчисления.
6. Литература и источники

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: изд–во МЦНМО. – 2007. – 564 с.
Математика. Энциклопедия для детей. Том 11.– М.: «Аванта+». – 2002. – 686 c.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.: «Просвещение». – 1990. – 416 с.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – СПб: изд–во «Санкт–Петербург оркестр». – 1994. – 416 с.











19