Оценка точности методов численного интегрирования

Введение

Математическое описание процессов в различных областях человеческой деятельности, часто приводит к модели независимых не только от состояния системы в данный момент, но и ее состояние в прошлом. Среди этих процессов могут быть отнесены многие биологические процессы (например, изменение концентрации лейкоцитов в организме человека), химических процессов (скорость реакции, катализируемой ферментами), как и процессы в мире экономики (рост капитала) и демографии (воспроизводство населения).

И, хотя во многих случаях для исключения задержки из рассмотрения позволяет адекватно описать реальные процессы, иногда это может привести к абсурдным (или, по крайней мере, эквивалентно реальности) выводы. Так, например, уравнение

является асимптотически устойчивым, однако, уравнение

не является стабильным, ни на что позитивное интервал времени [5]. Другой пример проблемы неучтенного задержки может служить в качестве модели системы автоматического регулирования («предсказатель отлично»), в случае, если значение входного сигнала в будущий момент времени полностью определяется значением выходного сигнала в данный момент , то, что противоречит как здравому смыслу, так и принцип причинности [5].

как Правило, модели, в зависимости от предыстории, содержащие одно или несколько уравнений, обыкновенных дифференциальных (ОДУ) с запаздывающими аргументами, как, например:

1)уравнение Маккея-Гласса, описать концентрация белых клеток крови в организме человека:

,

где и - функции;

2)уравнение кинетики ферментов

,

где и - функции;

3)общая модель роста капитала Солоу

в случае, если ;

4)логистическое уравнение с запаздыванием (уравнение Хатчинсона или уравнения Райта)

,

где и - функции.

Другие интересные примеры использования ОДУ с запаздывающими аргументами могут быть найдены, например, в книге [5].

Модель, как правило, содержат набор параметров, которые их характеризуют. Эти значения неизвестны, определяется в каждом случае отдельно на определенной матрицы наблюдаемых значений (значения, полученные в ходе эксперимента). Для уравнения Маккея-Гласса (1.3), например, параметры адвокат переменных и наблюдаемых значений - значения концентрации лейкоцитов в моменты времени .