Уравнение линии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении , а затем, после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, а в случае, когда угол между прямой и положительным направлением оси x. Если, в целом, уравнение прямой перевести свободный коэффициент в правую и разделить на него, то мы получим уравнение в отрезках

, где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и упорядоченного соответственно.

Две прямые на плоскости называются параллельными если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Установить две прямые и .

для того, Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются), необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найти условия взаимного расположения двух прямых.

Так как , то угол между этими прямыми находится по формуле

.

Отсюда получается, что если прямые будут параллельны, а – перпендикулярно. Если прямые заданы в общем, прямые параллельны при условии и перпендикулярно, при условии,

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле

Нормальное уравнение окружности:

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

в случае, если большая ось, - малая полуось . Фокусы находятся в точках . Вершины эллипса называются точки , , ,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

в случае, если большая ось, - малая полуось . Фокусы находятся в точках . Вершины гиперболы называются точками . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение