3 контрольных работы. задания варианта №17

Исследование функций

МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Библиография

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть дана функция y = f (x) на множество X и х₀ – внутренняя точка множества X.

Обозначим через U(х₀) окрестность точки х₀. В точке х₀ функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (x₀).

Аналогично: функция f (x) имеет в точке х₀ локальный минимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (x₀).

Местные точки максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них местных экстремумами функции.

Пусть функция f (x) определена на интервале [a, b] и имеет локального экстремума в некоторых из концов этого сегмента. Затем, такой экстрим называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой "и" левой и "b" полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки x₁, x₃ – точка локального минимума, а точка x₂, x₄ – точка локального максимума, х = и – предел максимума, x = b – предел существования.

Обратите внимание, что вместе с местным минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(x) на отрезке [a, b]. На рисунке точка x = a – точка глобального максимума (в этой точке функция f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точки x = x₃ – точка, соответственно, глобальный минимум.