Нужно выполнить работу до 27.01.2012

Преобразование Фурье

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

 

§1. Класс Шварц.

Преобразование Фурье отображает класс Шварца в себе.

Определение:. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

.

Класс Шварц иногда называют классе быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:

&';j,y&";S(R), a, b&";К выполненным by aj&";S(R).

отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

1) Если j(x)&";S(R),то

2) Если j(x)&";S(R),то j(x) ограничена на R.

3) Если j(x)&";S(R),то y(x)=xj(x)&";S.

4) Если j(x)&";S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)&";S.

5) Если j(x)&";S(R),то .

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

.

Доказать свойство 3). Во-первых, y=xj&";C^∞(R). Далее,

.

Свойство 4) получается из 3) последовательное применение. Действительно, если P(x)=a₀ o₁x ... _nxⁿ, то свойство 3) имеем xⁱj&";S(R) для функции P(x)j(x)=a₀j₁(xj) a₂(x²j) ... _n(xⁿj) относится к классу Шварц, из-за его линейности.

Свойство 5) аналогично доказывается свойство 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

(1)

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для любой функции j(x) интеграл (1) сходится, и, следовательно, не для любой функции определено преобразование Фурье.

Если (интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L₁(R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции j(x) L₁(R) определяется и ограничивается модуль на реальной оси.

Доказательство вытекает из равенства и (1):

... Преобразование Фурье определено для функции j&";S(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL₁(R). Заметим, что если j&";S(R), то по свойству 4) функция (1 x²